Mathematisches bzw. logisches Rätsel: Wer weiß Rat?

[Apfelhaus]

Nabend,
ein Freund von mir hat mir heute Morgen eine ziemlich eigenartige Aufgabe gestellt und ich komm' da auch nach langem Grübeln einfach nicht weiter. Also es geht um folgendes:

Drei Deutsche sitzen in einem anderen Land im Gefängnis, weil sie beschuldigt werden, ein Verbrechen begangen zu haben. In Zelle 1 sitzt Schulz, in Zelle 2 Müller und in Nr. 3 Mayer.
Die deutsche Regierung versucht natürlich mit der des anderen Landes zu verhandeln, man solle die Gefangenen doch frei lassen, da sie die Verbrechen gar nicht begangen haben können. Schließlich einigt man sich darauf, einen der drei frei zu lassen, die anderen beiden werden jedoch hingerichtet.

Am Tag der Exekution sitzt Schulz in seiner Zelle und denkt darüber nach, ob er vielleicht derjenige sei, der heil aus dem Gefängnis heraus kommt. Wenn zwei der dreien sterben müssen liegt seine Überlebenswahrscheinlichkeit daher logischerweise bei 1/3 (1 zu 3), richtig? Doch plötzlich kommt ihm ein Gedanke: Mit seinem letzten Geld in der Tasche versucht er den Wärter zu bestechen, der vor den Zellen umher läuft. Aber das Einzige was der Wärter Schulze verraten will, ist, dass Müller (Nr. 2) auf jeden Fall sterben wird. Wenn also Müller auf jeden Fall schon mal tot ist, bleiben ja nur noch er selber und Mayer übrig. So, jetzt muss also entweder er selber oder der andere noch sterben, da ja insgesamt zwei Leute exekutiert werden sollen. Also kann man doch sagen, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit von Schulz auf einmal gestiegen ist, denn entweder er stirbt noch, oder eben der andere, d.h. sie liegt jetzt bei 50%, also 1/2 oder 1 zu 2.

Aber wie kann das sein? Wie soll denn bitte nur durch den Tipp des Wärters die Wahrscheinlichkeit steigen? Den Gedankengang, dass einer der beiden anderen auf jeden Fall sterben wird hätte man doch auch selber machen können. Beträgt die Wahrscheinlichkeit zu überleben jetzt 1/3 (da ja einer von den dreien überlebt) oder 1/2 weil ja einer der anderen beiden logischerweise (also nicht Schulz) auf jeden Fall sterben wird und dann nur noch zwischen ihm selbst und dem Dritten entschieden werden muss?

Ich hoffe, ich konnte das einigermaßen gut rüberbringen und bin mal gespannt was ihr so dazu sagt, weil ich bin da echt mit meinem Latein am Ende...

 

[SumoSulsi]

Öhm ... ich bin für 1:2, wenn der einte zu 100% hingerichtet wird geht man ja automatisch von der neuen Situation aus

 

[spider]

Ist mir ehrlich gesagt zu kompliziert jetzt am Abend

 

[Benutzer-2472]

Ich wäre für 1:2, ganz klar.

1:3 ist uninteressant für ihn, da ja 2 sterben müssen. Die Wachen gehen am nächsten Tag an der Zelle vorbei und haben immer 2 Möglichkeiten, entweder sie sagen: tot oder lebendig. Also ist seine Chance 1:2, egal wie viele Gefangene es gibt.

(So würde ich das herleiten)

 

[MoSt_WaNtEd]

Edit, Denkfehler.. bin Talion´s Meinung..

 

[Talion]

1:2 stimmt.

Ohne die Festlegung, dass Müller stirbt, gibt es 6 gleichwertige Möglichkeiten. Nach dieser Festlegung sind es nur noch 4 Möglichkeiten. Also ist es korrekt, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit steigt, und zwar nach dem selben Prinzip, das beim Geburtstagsparadoxon zur Anwendung kommt.

 

[Haumann]

Naja, du drehst es in deiner Beschreibung einmal so rum und dann wieder andersrum.
Also zuerst wird gewählt 2 aus 3, was eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 33% und eine Sterbewahrscheinlichkeit von 66% ausmacht. Dies ändert sich auch durch den Tip nicht, da ja immernoch 2 aus 3 gewählt wird.
Erst wenn der eine tot ist ändert sich die Situation, da nun 1 aus 2 gewählt wird. Die Überlebenswahrscheinlichkeit steigt also auf 50% und die Sterbewahrscheinlichkeit fällt auf 50%.

Man kann aber nicht sagen, dass die Wahrscheinleichkeit für Schulz von Anfang an bei 50% liegt, da niemand weiß wer zuerst stirbt. Es kann ja auch sein, dass es erst Schulz erwischt, bei 66% sogar wahrscheinlich und dann Müller bei 50/50 den kürzeren zieht.
Da man aber nicht weiß wer definitiv als erster stirbt, kann man auch keine Wahrscheinlichkeit neu berechnen.
mfg Haumann

 

[mo001]

Hi!
Dein Problem erinnert mich an das sogenannte Ziegenproblem. (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem) Ist zwar eine etwas andere Situation, aber das Lesen dieses Artikels sollte auch zum Verständniss deines Problems beitragen.

Gruß mo

 

[Apfelhaus]

Die Chance, dass man getroffen wird, ist doch 2/3 ??

Ja, aber wie ich oben mehrfach geschrieben habe, geht es um die Überlebenswahrscheinlichkeit.

Ich weiß nicht wieso, aber ich bin eher für 1/3. Weil ich gehe ja von der Ausgangssituation aus:
Drei sind da, zwei kommen weg => einer bleibt. Also auch 1/3. Das mit dem Wärter stellt eben keine neue Situation da, weil ich ja (wie ich oben auch schon angemerkt habe) auch selber herausfinden kann, dass ja zwangsläufig mindestens einer der beiden anderen sterben muss, dazu brauch' ich ja keinen Wärter.

Also ist es korrekt, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit steigt [...]

Aber warum steigt sie auf einmal? Durch den Tipp vom Wärter kann sie doch gar nicht steigen, da mir ja schon vorher klar ist, dass mindestens einer der beiden anderen stirbt. Der Tipp ist also so gesehen vollkommen nutzlos und das ist von Anfang an schon klar.

 

[Talion]

Da man aber nicht weiß wer definitiv als erster stirbt, kann man auch keine Wahrscheinlichkeit neu berechnen.

Vorrausgesetzt, der Wächter lügt nicht, weiß man ja, wer zuerst stirbt. Damit hat man eine zusätzliche Festlegung getroffen, und die dezimiert natürlich die Anzahl der Möglichkeiten. Oder einfacher ausgedrückt: Es ist ein Unterschied ob man weiß, dass einer von den anderen beiden stirbt oder ein bestimmter von den anderen beiden stirbt. Im letzteren Fall ist eine "Ziehung" weniger notwendig.

 

[Apfelhaus]

Da man aber nicht weiß wer definitiv als erster stirbt, kann man auch keine Wahrscheinlichkeit neu berechnen.

Nein, wer zuerst stirb ist doch völlig unerheblich, oder nicht?
Du willst mir sagen, dass man nicht berechnen kann, wie hoch die Überlebenswahrscheinlichkeit für einen ist, wenn von drei Leuten zwei sterben müssen?

Also ich komm da nicht mit, mir raucht schon der Schädel.

 

[Haumann]

Vorrausgesetzt, der Wächter lügt nicht, weiß man ja, wer zuerst stirbt. Damit hat man eine zusätzliche Festlegung getroffen, und die dezimiert natürlich die Anzahl der Möglichkeiten. Oder einfacher ausgedrückt: Es ist ein Unterschied ob man weiß, dass einer von den anderen beiden stirbt oder ein bestimmter von den anderen beiden stirbt. Im letzteren Fall ist eine "Ziehung" weniger notwendig.

Woher weiß man wer zuerst stirbt? Der Wärter sagt nur, dass Müller auf jeden Fall stirbt. Die Tatsache das von den anderen beiden mindestens einer stirbt weiß Schulz aber von Anfang an, was wie gesagt bei 2 aus 3 nicht schwer ist. Das einzige was der Wärter macht, ist festzulegen wen es von den anderen beiden definitiv erwischt. Für Schulz selber ändert sich die Situation aber nicht.
Für Schulz bleibt 1/3 Überleben bzw. 2/3 Sterben.
mfg Haumann

 

[Apfelhaus]

Hi!
Dein Problem erinnert mich an das sogenannte Ziegenproblem. (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem) Ist zwar eine etwas andere Situation, aber das Lesen dieses Artikels sollte auch zum Verständniss deines Problems beitragen.

Danke, das ist ja schon mal nicht schlecht. Ich werd's mir morgen mal genauer durchlesen, aber jetzt geh' ich erstmal ins Bett. Vielleicht weiß es ja morgen auch jemand genau und kann's verständlich erklären.

 

[Talion]

Woher weiß man wer zuerst stirbt?

Sorry, man weiß natürlich nicht, wer zuerst stirbt. Hab mich durcheinanderbringen lassen, ist aber irrelevant.


Ohne den Tipp des Wächters haben wir 6 Möglichkeiten für die Ziehung:
(123)(213)(231)(321)(312)(132)
1 stirbt in den Fällen: (123)(213)(312)(132)
1 überlebt in den Fällen: (231)(321)

Nach dem Tipp des Wächters haben wir folgende Möglichkeiten:
(123)(213)(231)(321)
1 stirbt in den Fällen: (123)(213)
1 überlebt in den Fällen: (231)(321)

Einfach die Möglichkeiten rausnehmen, bei denen 2 als dritter gezogen wird, was ja gleichbedeutend mit überleben ist (und bereits durch die ersten zwei Ziehungen festgelegt ist).

 

[Apfelhaus]

Nochmal: Der Tipp des Wärters ist nutzlos und verändert nichts an der Situation (denke ich zumindest). Schulz weiß ja schließlich vorher schon, dass mindestens einer der beiden anderen stirbt. Und ob das jetzt Nr. 2 oder 3 ist, spielt ja für ihr keine Rolle.

 

[Talion]

Und ob das jetzt Nr. 2 oder 3 ist, spielt ja für ihr keine Rolle.

Für die Ja/Nein-Frage "Überleben oder nicht Überleben" spielt es keine Rolle, aber für die Wahrscheinlichkeit schon. Lies dir mal das Ziegending durch, das ist relativ ähnlich, nur dass Schulz dort quasi eine zweite Chance bekommt, wenn er beim ersten Mal erschossen würde. Oder eben das Geburtstagsparadoxon, das entspricht der von dir genannten Situation nämlich. Bei so wenig Variablen kann man ja sogar abzählen, siehe mein letzter Beitrag.


Edit: Wenn wir wissen, dass 2 in jedem Fall stirbt, kann es weder passieren, dass 1 und 3 noch dass 3 und 1 sterben. Diese 2 von den 6 Möglichkeiten fallen also raus. Es bleiben 4 Möglichkeiten, und in 2 davon stirbt Schulz. Für das Sterben selbst ist die Reihenfolge natürlich unerheblich, es zählen hinterher nur die Multimengen, nicht die Tupel.

 

[Haumann]

Sorry, man weiß natürlich nicht, wer zuerst stirbt. Hab mich durcheinanderbringen lassen, ist aber irrelevant.


Ohne den Tipp des Wächters haben wir 6 Möglichkeiten für die Ziehung:
(123)(213)(231)(321)(312)(132)
1 stirbt in den Fällen: (123)(213)(312)(132)
1 überlebt in den Fällen: (231)(321)

Nach dem Tipp des Wächters haben wir folgende Möglichkeiten:
(123)(213)(231)(321)
1 stirbt in den Fällen: (123)(213)
1 überlebt in den Fällen: (231)(321)

Einfach die Möglichkeiten rausnehmen, bei denen 2 als dritter gezogen wird, was ja gleichbedeutend mit überleben ist (und bereits durch die ersten zwei Ziehungen festgelegt ist).

Du gehst davon aus, dass die Reihenfolge (tot, tot, leben) ist. Aber wer sagt das denn? Kann da nicht jemand kommen mit (tot, leben, tot) oder (leben, tot, tot)?
Wer weiß wie dort entschieden wird. Fest steht nur, dass es Müller definitiv erwischt. Aber ob sein Name als erster, zweiter oder dritter fällt weiß niemand. Also bleibt die Wahrscheinlichkeit für Schulz so lange bei 1/3 bis jemand einen anderen beiden nennt zum sterben. In dem Moment steigt die Wahrscheinlichkeit entweder auf 100/0 im Fall das Müller nicht zuerst genannt wird, oder aber steigt auf immerhin 50/50 wenn Müller zuerst genannt wird.
Aber solange wie keine Name gefallen ist bleibt es 1/3.
mfg Haumann

 

[Talion]

Auf welche Art die Ziehung getätigt wird, ist unerheblich. Fest steht, dass 2 gezogen werden, die sterben sollen, und der Überlebende steht damit einwandfrei fest. Daher kann ich ohne Einschränkung behaupten, dass eine Ziehung "Müller, Sie sind tot. Schulz, Sie sind tot. Mayer, Sie leben." identisch ist mit der Ziehung "Müller, Sie sind tot. Mayer, Sie leben. Schulz, Sie sind tot."

Allerdings gehen mir so langsam die Möglichkeiten aus, dass noch anders zu erklären. Ich könnte jetzt nochmal das Geburtstagsparadoxon herunterbeten, aber das ist deutlich weniger anschaulich als meine Abzählung mit den erst 6 dann 4 Tupeln.

Ganz anschaulich gesprochen: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer festen gewählten Person (Müller) eine bestimmte weitere Person (Schulz) gezogen wird, ist geringer als die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer beliebigen Person (Müller, Mayer) eine bestimmte weitere Person (Schulz) gezogen wird.
Jede relevante Festlegung verringert die Anzahl an Möglichkeiten. Die Festlegung ist relevant, da sie die eine Ziehung vorweg nimmt. Es war vorher klar, dass Mayer oder Müller gezogen werden würden, aber es war nicht klar, wer von beiden. Nun ist das klar, also brauchen wir nur nohc die verbleibende Ziehung durchführen, und die hat eine Wahrscheinlcihkeit von 50%.

 

[Tyrell]

Aber wie kann das sein? Wie soll denn bitte nur durch den Tipp des Wärters die Wahrscheinlichkeit steigen?

Wenn man das System betrachtet, hat man vorher zwei Todesurteile auf drei Menschen, also eine Wahrscheinlichkeit von ca. 0.33, rauszukommen. Dadurch, dass der Wärter einen Tipp gibt, hat man nur noch ein Todesurteil auf zwei Menschen, die Überlebenschance steigt auf 0.5
Das funktioniert allerdings nur, wenn die Todesurteile zufällig ausgesprochen werden, wenn sie vorher schon feststehen, ist die Überlebenschance entweder 0 oder 1.0.

 

[das_makro]

3 Insassen
1 stirbt
Die Chance zu sterben liegt bei 33,33%

2 Insassen (weil einer ja schon so gut wie tod ist)
1 stirbt
Die Chance zu sterben liegt bei 50% ist also gestiegen.

Ob der Wärter dem Insassen einen Gefallen getan hat....?