Mathe Doppelintegral über Gebiet

SerkanB

Well-known member
ID: 215299
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10 Juli 2006
146
13
Moin.

Habe Folgende aufgabe:
Man bestimme das Doppelintegral der Funktion
f(x; y) = 1 / (x+y)³

über dem Gebiet G = {(x,y) | x+y ≤ 3 , x,y ≥ 1 }
Man mache sich die Situation geometrisch klar.

ich kann mir das Gebiet vorstellen, ich weiss wie die Funktion aussieht ... nur wie mach ich da nu n Doppelintegral drauf?

Wie komm ich auf die Grenzen der Integrale?
Im grunde... geht doch beides von -unendlich bis +unendlich, aber dann brauch ich die angabe des Gebiets ja nicht mehr.

Kann mir jemand helfen das zeug zu verstehen? Kann man das verstehen?
 
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Nimm Dir einfach die Region 1 ≤ x+y ≤ 3 vor und löse nach einer der beiden Variablen, z.B. nach y. Du bekommst 1-x ≤ y ≤ 3-x für alle x, also "integriere y von 1-x bis 3-x". Das dazugehörige Doppelintegral ist:

∫[sub]-∞[/sub][sup]∞[/sup]∫[sub]1-x[/sub][sup]3-x[/sup] f(x,y) dy dx

Alternativ geht's andersrum:

∫[sub]-∞[/sub][sup]∞[/sup]∫[sub]1-y[/sub][sup]3-y[/sup] f(x,y) dx dy.

Is in Deinem Fall gehuppt wie gesprungen weil x und y bei Dir komplett vertauschbar sind... ;)
 
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Ich seh grad, da is n Fehler in der PDF (was in einer anderen PDF steht ... und ich das auch am selben tag geladen hab).

Das Gebiet schaut jetz so aus: G = {(x,y) | x+y ≤ 3; x,y ≥ 1} ... was mich immernoch irritiert, weil x,y unendlich sind (und in der Vorlesung meist 0-1 gemacht wurde), aber gut. So stehts in der Korrektur-PDF.

würde ja dann so aussehn:

∫[sub]1[/sub][sup]∞[/sup]∫[sub]1-x[/sub][sup]3-x[/sup] f(x,y) dy dx

Also die untere grenze vom dx auf 1 statt -∞, und bei dy tut sich da nix?

Und meist du, das wäre schon die Lösung für diese Aufgabenstellung? Ich hätt das jetzt noch 'Ausintegriert' und alles, dass ich dsa Volumen hab (auch wenn da nix von Volumen in der Aufgabe steht).

Und danke für die Antwort ^^
 
Also die untere grenze vom dx auf 1 statt -?, und bei dy tut sich da nix?

Ne das passt nicht, weil Du die Bedingung y ? 1 ignoriert hast. Du musst Dir die Region erstmal geometrisch vorstellen. Du hast drei Bedingungen: x ? 1, y ? 1 und x+y ? 3. Jede von denen stellt eine Linie dar die eine Teil der Ebene wegschneidet. x ? 1 ist vertikal, y ? 1 ist horizontal und x+y ? 3 ist diagonal (y ? 3 - x: Gerade mit Anstieg -1).

Hab mal versucht, das darzustellen, wobei die farbigen Flächen die Punkte darstellen, die durch die Bedingung ausgeschlossen werden:



Über den verbleibenden dreieckigen Bereich sollst Du jetzt integrieren.

Wenn Du das über eine kartesische Integration machen willst (also dx, dy) dann musst Du dir das immer so vorstellen, dass Du die Ebene in schmale Streifen schneidest. Jenachdem ob Du erst dx oder erst dy integrierst sind es horizontale oder vertikale Streifen. Sagen wir mal die Integration dx ist außen. Dann ist für das innere Integral x fest (vertikale Linie) und für jedes feste x fragst Du Dich welche y sind erlaubt.

:arrow: x < 1: gar keine (x muss ? 1 sein, das Dreieck fängt erst bei x=1 an)
:arrow: x > 2: auch keine (das Dreieck ist bei x=2 zu Ende [weil x+y?3 und y?1 also x?2])
:arrow: 1 ? x ? 2: hier schneidet die vertikale Linie das Dreieck. Die erlaubten Werte für y gehen dann von 1 (unten) bis 3-x (oben).

Alles zusammen haben wir also für das äußere Integral Grenzen von 1 bis 2 und für das innere Grenzen von 1 bis 3-x, also

?[sub]1[/sub][sup]2[/sup]?[sub]1[/sub][sup]3-x[/sup] f(x,y) dy dx.


Natürlich geht das auch andersrum: Wenn die Integration dy außen ist, schneidest Du in horizontale Streifen.

Und meist du, das wäre schon die Lösung für diese Aufgabenstellung? Ich hätt das jetzt noch 'Ausintegriert' und alles, dass ich dsa Volumen hab (auch wenn da nix von Volumen in der Aufgabe steht).

"Man bestimme das Doppelintegral der Funktion" klingt für mich schon nach ausrechnen. Würde ich auf jeden Fall mal probieren. Ist ja auch nicht schwer.