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Von kleinen Carl Friedrich Gauß ist die Anekdote überliefert, daß er seinen Dorfschullehrer, der die Gruppe der Kleinen für geraume Zeit beschäftigen wollte, indem er sie die Summe der Zahlen von eins bis hundert ausrechnen ließ, überraschte. Nach wenigen Augenblicken hatte Carl Friedrich die richtige Lösung parat. Ihm muß aufgefallen sein, daß man die Zahlen sinnvoll paaren kann: Die erste mit der letzten, die zweite mit der vorletzten — immer ergibt sich dieselbe Summe, nämlich 100+1 (allgemein n+1). Da es 50 (allgemein n/2) solcher Paare gibt, mußte die Summe (101)·50 sein.
1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97 = 101 ··· ··· ··· ··· ··· ··· 49 + 52 = 101 50 + 51 = 101 5050
Der kleine Gauß hatte damit die Summenformel entdeckt:
| n Σ i=1 |
i = 1 + 2 + 3 + ... + n = | n·(n+1) 2 |
mit der Gaußschen Summenformel n * (n + 1 ) / 2
Mit der Gaußschen Summenformel.
F=(n×(n+1))/2
wie sieht der Beweis dazu aus?
(n × (n + 1))/2
Die allgemeine Formel lautet (n × (n + 1))/2, wobei n die Anzahl der Glieder in der Reihe ist. Mit dieser Formel kann die Summe einer Reihe schnell berechnet werden, ohne dass die einzelnen Zahlen addiert werden müssen.
Als Bruch: n²+n
2
n = die letzte natürliche Zahl der Reihe
16 x 17 = 136
2
n·(n+1)/2
n ist die Anzahl der Zahlen
Beispiel mit 3 Zahlen:
3x(3+1)/2=6
