Schlaufuchs
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Mithilfe der Funktionentheorie.
Mathematiker müssen zeigen, ob alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil 1/2 haben
- Analytische Zahlentheorie (Funktionentheorie): Der klassische Ansatz versucht zu beweisen, dass keine Nullstellen außerhalb der "kritischen Linie" () existieren. Dies könnte durch verbesserte Abschätzungen der Zetafunktion im kritischen Streifen () gelingen.
- Hilbert-Pólya-Vermutung (Spektraltheorie): Es wird vermutet, dass die Nullstellen als Eigenwerte eines (noch zu findenden) hermiteschen Operators (verwandt mit der Quantenmechanik) interpretiert werden können. Da Eigenwerte eines solchen Operators reell sind, würde dies beweisen, dass die Nullstellen auf einer Linie liegen.
- Geometrische Ansätze: Ein moderner Ansatz versucht, die Vermutung über Differentialgeometrie, Topologie oder die Theorie der Hauptbündel zu beweisen.
- Arithmetische Geometrie: Der Versuch, die Vermutung über endliche Körper (für die sie bewiesen ist) auf die ganzen Zahlen zu übertragen, oft verbunden mit der Hoffnung auf eine Geometrie über dem "Körper mit einem Element"
Die Riemannsche Vermutung, die besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion den Realteil haben, ist unbewiesen. Ein Beweis erfordert den analytischen Nachweis, dass keine Nullstellen außerhalb der kritischen Geraden existieren. Ein Widerruf gelangte durch den Fund einer einzigen Nullstelle abseits der Geraden
Ein Beweis oder Widerlegung erfordert den Nachweis, dass alle unendlich vielen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen (Beweis) oder eine einzige Nullstelle außerhalb gefunden wird (Widerlegung)
