Was in der Mathematik wird als abgeschlossene Menge bezeichnet?

In der Mathematik bezeichnet man eine Menge als abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.

Genauer:

• In einem topologischen Raum (z. B. im RnRn) ist eine Menge AA abgeschlossen, wenn ihr Komplement (also alle Punkte außerhalb von AA) offen ist.

• Praktisch bedeutet das: Wenn eine Folge von Punkten aus AA gegen einen Grenzwert konvergiert, dann liegt dieser Grenzwert ebenfalls in AA.

• Beispiele:

  • Das Intervall [0,1][0,1] in den reellen Zahlen ist abgeschlossen, weil es seine Randpunkte 0 und 1 enthält.

  • Das offene Intervall (0,1)(0,1) ist nicht abgeschlossen, da die Randpunkte 0 und 1 nicht in der Menge sind.

Abgeschlossene Mengen sind wichtig, weil sie Stabilität unter Grenzwerten garantieren, was in Analysis und Topologie grundlegend ist.