Schlaufuchs
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Besagt also, dass Anzahl unterscheidbarer Bahnen, auch Orbits genannt, dem arithmetischen Mittelwert der Fixpunktanzahl aller Gruppenelemente gleiche.
Es besagt, dass die Anzahl der unterscheidbaren Bahnen (Orbits) gleich dem arithmetischen Mittelwert der Anzahl der Fixpunkte aller Gruppenelemente ist.
Das Lemma von Burnside gibt die Anzahl der Orbits einer Gruppe, die auf einer Menge wirkt, durch das Mittel der Fixpunkte der Gruppenelemente an.
Das Lemma von Burnside (auch Cauchy-Frobenius-Lemma) ist ein Satz der Kombinatorik, der die Anzahl der verschiedenen Orbits (Äquivalenzklassen) unter einer Gruppenoperation zählt. Es besagt, dass die Anzahl der Orbits dem Durchschnitt der Anzahl der Fixpunkte über alle Gruppenelemente entspricht:
- Zweck: Es hilft, "komplizierte" Objekte abzuzählen, z. B. wie viele verschiedene Färbungen ein Würfel haben kann, wenn Drehungen als identisch betrachtet werden.
- Formel: Die Gesamtanzahl der unterscheidbaren Muster ist die Summe der Fixpunkte (unveränderte Muster) jedes Gruppenelements, geteilt durch die Ordnung der Gruppe.
- Anwendung: Besonders nützlich in der geometrischen Kombinatorik und bei Symmetrieproblemen.
- Hintergrund: Das Lemma wird oft fälschlicherweise Burnside zugeschrieben, wurde aber bereits früher von Cauchy und Frobenius bewiesen.
