[Physik] Integralrechnung (Ladungsmenge)

[Star4000]

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe wo ich überhaupt nicht weiter weiss.Ich muss die Ladungsmenge berechnen die in den ersten 5t fließt.
Ich habe dazu folgende Formel bekommen:

I= U/R ( 1-e^(-t/T))

T = Tau

Habe zu diesem Thema bisschen gesucht und fand diese Seite:
https://www.fehlersuche-kfz.de/Unter/1023_2.pdf

In dem I/t Diagrammen steht Zeit in Tau... Welches ist denn nun die Zeit -t, oder T (Tau)

Und wie kann ich nun diese Funktion hochleiten? Ich bin ehrlich gesagt ein wenig verwirrt...

Vielleicht habt ihr ein paar Tipps wie ich an diese Aufgabe ran gehe.

Vielen Dank schoneinmal.

MfG:

 

[DaPhreak]

Ist ein bisschen verwirrt gestellt die Aufgabe. Ich denke, gesucht ist die Ladungsmenge die in den ersten 5T fließt (nicht 5t). Der Stromfluss als Funktion der Zeit wäre vollständiger:

I(t) = U/R ( 1-e[sup]-t/T[/sup])

und damit ist klar, dass t hier die Zeitvariable ist und dass du I(t) integrieren sollst von 0 bis 5T.

Zur Integration selbst:
Zunächst mal würde ich die Klammer auflösen.
I(t) = U/R - U/R * e[sup]-t/T[/sup]

Du siehst also, Du hast zwei Terme, die zu integrieren sind. Der erste hängt nicht von t ab, ist also eine Konstante. Wie ist die Stammfunktion einer Konstante?

Der zweite Term ist eine e-funktion. Was Du vielleicht weißt, ist dass die Ableitung von e[sup]a*t[/sup] nach t wieder eine e-Funktion ergibt, nur dass die innere Ableitung davor kommt, also a*e[sup]a*t[/sup]. Damit kannst Du dir schnell überlegen, wie man e[sup]a*t[/sup] integriert (aufleitet), Du musst halt durch a dividieren (damit sichs beim Ableiten wieder rauskürzt). Also ist die Stammfunktion zu e[sup]a*t[/sup] gegeben durch 1/a*e[sup]a*t[/sup].

Bei dem gegebenen zweiten Term steht noch U/R davor, das bleibt erhalten. Wie ist nun also bei dir das a im Exponenten? Wie sieht dann die Stammfunktion aus?

Wenn Du die Stammfunktion einmal hast, dann musst Du ja nur noch die Grenzen einsetzen: Stammfunktion bei 5T minus Stammfunktion bei 0.


*edit* Zur Kontrolle: Ich habe U/R*T*[4+e[sup]-5[/sup]] ≈ 4.007 * U/R*T.
(ohne Gewähr...).

 

[Star4000]

Hm ich versteh das nicht ganz mit der e-Funktion...

Ich habe bereits das Tau vor die e-Funtkion gepackt so das da nun steht

U/R*T*e^-t/T...
ist wahrscheinlich falsch ?!

 

[DaPhreak]

Hm ich versteh das nicht ganz mit der e-Funktion...

Ich habe bereits das Tau vor die e-Funtkion gepackt so das da nun steht

U/R*T*e^-t/T...
ist wahrscheinlich falsch ?!

Och, eigentlich ziemlich nahe dran. Mach doch einfach mal die Probe durch ableiten.


Ausführlicher:

Ich hatte dir verraten, dass die Stammfunktion zu e[sup]a*t[/sup] gegeben ist durch 1/a*e[sup]a*t[/sup].

Was Du hast ist e[sup]-t/T[/sup]. Man sieht also, dass a = -1/T ist.

Damit ist die Stammfunktion 1/(-1/T)*e[sup]-t/T[/sup] = -T*e[sup]-t/T[/sup].


Da Du noch den Vorfaktor U/R davor hast ist die gesamte Stammfunktion des zweiten Terms von Deinem I(t) gegeben durch -U/R*T*e[sup]-t/T[/sup].