Mathe Nullstellen komplexe Funktion

[gamemammut]

Hallo,

ich soll die Nullstellen einer komplexen Gleichung berechnen:

z²+(2j-3)z+5-j=0

Ich hab jetzt erstmal die Klammer ausmultiplizert, komm aber nicht weiter.

Kann mir da jemand helfen?

P.s.: Als Lösung sagt mein Aufgabenblatt z1=2-3j und z2=1+j

Das hab ich gemacht:

z²#2zj-3z+5-j=0

z(2j-4)+5-j=0
-5+j 2j+3
z=-----*------
2j-3 2j+3

-10j-15-2j²+3j -7j-11
z=---------------=---------
4j²+6j-6j-9 -13

das scheint mit aber nicht richtig

 

[DaPhreak]

Was Du da gemacht hast kann ich leider nicht entziffern (wieso ist z² auf einmal weg?), aber prinzipiell ist das Vorgehen exakt das gleiche wie beim Lösen jeder quadratischen Gleichung. Entweder Du machst 'ne quadratische Ergänzung von Hand oder Du nimmst halt eine fertige Formel (pq, Mitternachtsformel, wie auch immer ihr das Ding nennt).

Bei quadratische Ergänzung würdest Du es schreiben als (z-(2j-3)/2)[sup]2[/sup] + X = 0, wobei Du jetzt X so ausknobeln musst, dass genau das gleiche wie am Anfang dasteht. Dann X auf die andere Seite bringen und Wurzel ziehen. ;-)

 

[gamemammut]

Also das mit der Darstellung der Brüche tut mir leid, da ging wohl was schief.

Wir bevorzugen die Mitternachtsformel, die pq Formel haben wir offiziell nicht gemacht.

An die Mitternachtsformel hab ich auch gedacht, aber was ist mein a,b und c?

 

[marac]

Warum willst du die Klammer denn überhaupt ausmultiplizieren? Du hast eine quadratische Gleichung mit z als Variable, wenn du davon die Nullstellen mittels Mitternachtsformel ermitteln willst, brauchst du doch genau die Koeffizienten der verschiedenen z-Potenzen.
ax²+bx+c=0 (bzw. hier eben az²+bz+c=0)
-> Damit sind deine Koeffizienten: a = 1, b = 2j-3, c = 5-j
Das packst du einfach in deine Formel... Die Wurzel in der Formel aufzulösen ist etwas tricky, aber versuch es erstmal...

 

[Pontius]

na a ist der Faktor, welcher vor dem Quadrat der Unbekannten (z²) steht, also 1; b ist der Faktor vor der Unbekannten, also 2j-3 und c ist der Rest ohne Unbekannte, das wäre also 5-j

Dann könntest es stur in die Formel einsetzen und damit beginnen Umformungen durchzuführen.

Und marac war schneller

 

[gamemammut]

Also, dann hab ich:

x1 bzw x2 = (2j+3)+-Wurzel(-15-8j) BRUCH 2

Leider weiß ich nun nicht, wie man die Wurzel auflöst.

 

[marac]

Also, dann hab ich:

x1 bzw x2 = (2j+3)+-Wurzel(-15-8j) BRUCH 2

Leider weiß ich nun nicht, wie man die Wurzel auflöst.

Klingt gut... genau das meinte ich damit, dass das Auflösen der Wurzel etwas tricky ist... Erstmal könnte man dafür sorgen, dass das, was unter der Wurzel steht, positiv ist: j² ausklammern.
Dann bleibt unter der Wurzel 15+8j. Damit man da anständig die Wurzel ziehen kann, müsste daraus irgendwie eine binomische Formel werden... Kleiner Tipp: Statt 15+8j könntest du auch schreiben 16+8j-1...

 

[gamemammut]

wie kann ich da j² ausklammern? Da steht doch nur -15-8j.

 

[Pontius]

Was ist denn j² bei einer komplexen Zahl?
Ist doch nicht mehr als -1 (nur lässt es sich aus j² besser die Quadratwurzel ziehen)

 

[gamemammut]

Das weiß ich, aber grad steh ich aufm Schlauch.

 

[marac]

-15-8j = -1(15+8j) = j²(15+8j) = j²(4*4+2*4*j-1)

 

[gamemammut]

Aha...Das hab ich nun verstanden, aber wie gehts nun weiter?

 

[Pontius]

marac hat es schön aufgeschlüsselt - es ist eine binomische Formel:

j²(4*4+2*4*j-1) = j²(4²+2*4*j+j²) = j²*(4+j)²

 

[gamemammut]

Wow...da muss man erstmal draufkommen.

Das ergibt dann j*(4+j) wenn man die Wurzel aufgelöst hat, also 4j+j² bzw 4j-1 .

Am Ende komme ich aber auf x1=3j+1 und x2=-j+2

 

[Pontius]

klingt nach einem Vergessen des Minuses vor (2j-3) aus der "Mitternachtsformel"

 

[gamemammut]

Nur mal so zum Verständnis:

Wenn ich um unter der Wurzel zum Beispiel 18+10j habe:

*FALSCH*

War das bei der Gleichung von meiner Aufgabe nur Zufall, dass daraus ein Binom geworden ist?

 

[marac]

War das bei der Gleichung von meiner Aufgabe nur Zufall, dass daraus ein Binom geworden ist?

Nö, Zufall sicher nicht, sondern pure Absicht seitens des Aufgabenstellers

 

[NeedSomeWeed]

hier WolframAlpha hilft meistens:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z²+(2j-3)z+5-j=0

 

[marac]

In dem Fall sollte man dann aber wohl "i" statt "j" verwenden, damit WolframAlpha auch kapiert, dass damit die imaginäre Einheit gemeint ist...