Mathematisches bzw. logisches Rätsel: Wer weiß Rat?

[Talion]

Dadurch, dass der Wärter einen Tipp gibt, hat man nur noch ein Todesurteil auf zwei Menschen, die Überlebenschance steigt auf 0.5

2 Insassen (weil einer ja schon so gut wie tod ist)
1 stirbt
Die Chance zu sterben liegt bei 50%

Quoted for truth.
Zentrale Aussage: Ein bestimmter (!) ist schon quasi tot. Es bleiben nur noch zwei. (Aussage vor dem Tipp des Wächters: Einer der beiden anderen stirbt, aber es muss noch entschieden werden, welcher.)


--- Gute Nacht

 

[das_makro]

Wenn man das System betrachtet, hat man vorher zwei Todesurteile auf drei Menschen, also eine Wahrscheinlichkeit von ca. 0.33, rauszukommen. Dadurch, dass der Wärter einen Tipp gibt, hat man nur noch ein Todesurteil auf zwei Menschen, die Überlebenschance steigt auf 0.5
Das funktioniert allerdings nur, wenn die Todesurteile zufällig ausgesprochen werden, wenn sie vorher schon feststehen, ist die Überlebenschance entweder 0 oder 1.0.

Die Überlebenschance sinkt quasi mit der Aussage, das einer schon tod ist.

Wie schon gesagt:
Anfangs lag die Wahrscheinlichkeit zu sterben bei 33,33%, jetzt bei 50%.

 

[Talion]

Anfangs lag die Wahrscheinlichkeit zu sterben bei 33,33%, jetzt bei 50%.

Jetzt wirfst du was durcheinander.
2 von 3 sterben, also lag die Wahrscheinlich zu überleben bei 33%.

 

[das_makro]

Jetzt wirfst du was durcheinander.
2 von 3 sterben, also lag die Wahrscheinlich zu überleben bei 33%.

Sorry, ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil

 

[blue.shift]

Nabend,
Wenn zwei der dreien sterben müssen liegt seine Überlebenswahrscheinlichkeit daher logischerweise bei 1/3 (1 zu 3), richtig?

Erstmal: Eine wahrscheinlichkeit von 1/3 entspricht einer Chance von 1:2. Und eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 entspricht 1:1 oder wie man so schön sagt: 50:50 - das ist das selbe. Aber 1/2 ist nicht äquivalent mit der Schreibweise 1:2.

Das ganze Problem entspricht in der Stochastik einer Ziehung ohne zurücklegen.
Fall1: Schulz hat keine Ahnung, welcher seiner Kumpels drauf geht:
p(überleben) = 2/3 (Schulz wird verschont) * 1/2 (Schulz hat's nochmal geschafft) = 2/6 = 1/3
Fall2: Schulz weiß, dass Mayer in jedem Fall drauf geht, Schulz weiß aber nicht, ob Mayer als erster oder als zweiter draufgeht. Es gibt also zwei Möglichkeiten:
(2.1) Mayer ist in jedem Fall der erste: 1 (Mayer ist weg) * 1/2 (Schulz hat's geschafft) = 1/2
(2.2) Mayer ist in jedem Fall der zweite: 1/2 (Schulz hat's geschafft) * 1 (Mayer ist fort) = 1/2
Da das Eintreffen beider Möglichkeiten wiederum gleichwahrscheinlich ist, ist die gesamtwahrscheinlichkeit 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2 = 2/4 = 1/2
Oder weniger kompliziert für (2.2): Da Mayer ohnehin draufgeht, bleiben nur noch Schulz und Mayer übrig. => p = 1/2
Also: Schulz hat bessere Chancen, wenn er weiß, welcher seiner Kollegen hoppes geht.

 

[Bububoomt]

blue.shift hat da denke ich sehr gut verdeutlicht.

Im Grunde handelt es sich hier bei um 2 Fälle, die man halt getrennt von einander betrachten muß, daadurch da man zusätzliche Infos hat.

Spinnt es doch weiter... Der Wärter sagt, das die anderen beiden sterben. Dann ist das eine Überlebensw' von 100%, am anfang lag die sicherlich nciht bei 100%

 

[Jigger]

das oben genannte Ziegenproblem ist genau das Problem was du hast ^^

Jigger

PS: ja die chance zu überleben steig um 16,p6%

 

[klamm]

der tipp ändert nix weil das vorher schon klar is dass einer der anderen noch stirbt ... aber nebenbei: 1/3 wkeit >> 1:2 (1 guter ausgang, 2 schlechte). entsprechend ist 50% => 1:1. Ich lass mich zwar gerne korregieren aber ich glaub das is so.

 

[Apfelhaus]

So, da bin ich wieder und hab' auch gleich was Schönes mitgebracht:

Lösung des Problems von Wikipedia

Die Überlebenswahrscheinlichkeit von Schulze beträgt demnach doch 33,3%.

Also: Schulz hat bessere Chancen, wenn er weiß, welcher seiner Kollegen hoppes geht.

Nachdem ich den Wiki-Artikel gelesen hab', kann ich dir sagen, dass es nicht so ist.
Die Wahrscheinlichkeit zu Überleben sinkt (!), wenn Schulz die Information des Wärters erhält und zwar von 66,6% auf 33,3%. Das eine Drittel von Schulz wandert also zu Mayer und das andere behält er selber.

 

[Talion]

Hm... Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, wieso hier nicht die Rechnung angewendet werden soll, die bei Wikipedia unter "Zusatz zu den obigen Überlegungen" aufgeführt wird (in dem Fall würden die 50% stimmen).


Die Fragestellung ist auch etwas unterschiedlich:
- "Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von ⅓ hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die sterben muss" (Wikipedia)
bzw.
- "Aber das Einzige was der Wärter Schulze verraten will, ist, dass Müller (Nr. 2) auf jeden Fall sterben wird" (Frage hier im Thread)

Bei Wikipedia soll der Wächter nur einen der beiden anderen nennen, der definitiv sterben wird. Hier im Thread nennt der Wächter irgendeinen der drei, er hätte also auch Anton/Schulz selbst nennen können. Allerdings bin ich jetzt zu müde, um mir noch Gedanken darum zu machen, ob das wirklich etwas ändert.


Kurz gesagt, meine Behauptung ist nach wie vor, dass die 50% stimmen (so wie es der spätere Abschnitt bei Wikipedia nahelegt), aber heute abend werd ich mir darum keine näheren Gedanken mehr machen und dementsprechend darf die Behauptung jetzt nicht als 100% durchdacht gelten.

 

[blue.shift]

Die Wahrscheinlichkeit zu Überleben sinkt (!), wenn Schulz die Information des Wärters erhält und zwar von 66,6% auf 33,3%. Das eine Drittel von Schulz wandert also zu Mayer und das andere behält er selber.

Also 2/3 Überlebenswahrscheinlichkeit hatte Schulz schonmal gar nicht. Weder vorher noch nachher. Vermutlich hattest Du einen kleinen Denkfehler...

So ich glaub, ich bin mittlerweile auch durchgestiegen, wie man das Problem zu interpretieren hat. Ganz besonders ist auf die Formulierung des Problems zu achten: Wichtig ist nämlich, dass der Wächter weiß, welcher der dreien der Begnadigte ist, d.h. dass er das Los bereits gezogen hat: das war in Deiner Aufgabenstellung etwas schwammig formuliert. "Aber das Einzige was der Wärter Schulze verraten will, ist, dass Müller (Nr. 2) auf jeden Fall sterben wird." - ist im Prinzip zwar auch in Ordnung, da er auf jeden Fall irgendjemanden nennt, nur nicht Schulz selbst, Du nennst aber nicht den Zeitpunkt, zu welchem er diese Aussage trifft (dazu später noch mehr). Also lag die Wahrscheinlichkeit vor dem Ziehen (jetzt kommt der Zeitpunkt der Betrachtung zum ersten Mal ins Spiel...) zu überleben für Schulze 1/3 und dass irgendeiner der anderen beiden überlebt 2/3. Nach dem Tip fällt die Wahrscheinlichkeit zu überleben von 2/3 auf Mayer alleine - für Schulz bleibt nach wie vor 1/3.

Der Zeitpunkt, zu welchem man eine Aussage über die Überlebenswahrscheinlichkeit trifft, spielt also eine große Rolle:
Wenn man das Problem nämlich so interpretiert, dass der Wächter sich einen der beiden anderen aussucht, bevor er das Los zieht (so wie ich es zunächst verstanden hatte - hiermit "entschuldige" ich an dieser Stelle meine Argumentation mit p = 1/2 ) wird an der Menge selbst eine Veränderung vorgenommen, sodass nur noch Schulz und Mayer im Pott sind und somit die Wahrscheinlichkeit p = 1/2 beträgt.
Selbiges Ergebnis erhält man auch, wenn der Wächter das Ergebnis zwar weiß und eines der Opfer genannt hat, man aber willentlich diese Informationen vernachlässigt und das Problem nur noch auf Schulz und Mayer bezieht.

Gruß Robin

 

[bestof]

Nachdem ich den Wiki-Artikel gelesen hab', kann ich dir sagen, dass es nicht so ist.
Die Wahrscheinlichkeit zu Überleben sinkt (!), wenn Schulz die Information des Wärters erhält und zwar von 66,6% auf 33,3%. Das eine Drittel von Schulz wandert also zu Mayer und das andere behält er selber.

Meiner Meinung nach nicht, die Passivtäter müssen sich noch zwischen 2 entscheiden, davon wird noch einer hingerichtet also beträgt die Chance 50%. Vorausgesetzt natürlich die Information ist korrekt. Liegt einfach daran, dass durch die Information des Wärters mehr Details bekannt sind.

 

[losomat]

Man muss die Sache so betrachten: Es gibt 3 Lose, 3 Mal wird gezogen. 2 sind Nieten, eines der Gewinn, das Leben.

Jetzt kommt es drauf an, wer zuerst zieht. Wenn der Typ das ist, hat er ne Wahrscheinlichkeit von 2/3, eine Niete zu ziehen. Aber jetzt zieht ja der andre Typ zuerst (bildlich gesehen). Er hat eine Wahrscheinlichkeit von 2/3, eine Niete zu ziehen. Er zieht die Niete und stirbt. Bleiben 2 Lose und 2 die ziehen dürfen. Weil schon jemand mit der höheren Wahrscheinlichkeit, zu sterben, gezogen hat, verschiebt sich das ganze. Nur wenn alle 3 gleichzeitig ziehen, ist die Wahrscheinlichkeit fair verteilt. Hätte der der auf jeden Fall sterben muss stattdessen das Leben gezogen, hätten die anderen 2 eine Wahrscheinlichkeit von 100 %, die Niete zu ziehen.

Dass er schon vorher wusste, dass auch jemand anderes sterben muss, ist dabei irrelevant. Man muss es mit dem Ziehen eines Loses vergleichen, dann merkt man den Unterschied in der Wahrscheinlichkeitsverteilung, den es macht, wenn bei jemandem vor allen anderen gezogen wird.