[Mathe] Normen

[Bart]

Guten Tag,

mich plagt die folgende Aufgabe:
Im R^n soll ich für die Normen
||x||_1 := sum(abs(x_i)) ;
||x||_2 := sqrt(sum( (x_i)² )) ;
(also einmal die Summe der Absolutbeträge und einmal die Wurzel der Summe der Quadrate) - folgende Ungleichung beweisen:

||x||_1 =< sqrt*||x||_2

Wenn man damit ein bisschen rumjongliert, bekommt man schöne Ungleichungen raus bei denen man die Gültigkeit aber leider noch weniger erkennt. Auch das Cauchy-Produkt macht die Sache nicht transparenter. Evtl. geht es mit Fallunterscheidung? Habs noch net hinbekommen..
Danke im Voraus für die Hilfe!

MfG, Bart

 

[joschilein]

Was ist ||x||_1? Sowas wie f[sub]1[/sub](x) ?
Was ist x_i?
Was ist sum (mathematisch)? Integrale oder was?

Vielleicht stehe ich aufm Schlauch, aber ich bekomme hier insbesondere den Zusammenhang zwischen n und x_i nicht gebacken..

 

[Bart]

Sorry für die verkorkste Schreibweise, kenne mich mit dem Kram net aus...

Wir befinden uns im R^n. Ein x darin hat also n Komponenten x_i (i=1,...,n).
Und ja, das _1 soll Index 1 bedeuten, also quasi die 1er-Norm und die 2er-Norm.
"sum" soll bedeuten die Summe von i=1 bis n; die erste Norm ist also die Summe der Absolutbeträge von den Komponenten (x_i) von x (element R^n).
Die 2er-Norm ist die Summe der Quadrate der Komponenten von x.

 

[tdnpf]

jetzt aber:



Edit: Es handelt sich natürlich um vollständige Induktion. Und am Anfang: Man llese x_n+1 statt x_n-1

 

[DaPhreak]

jetzt aber:

Du hast vergessen uns zu verraten, dass das eine Induktion werden soll.
Okay, mag offensichtlich sein, aber ich hab 'ne Sekunde gebraucht das zu schnallen.

Kleiner Schönheitsfehler: Im zweiten Schritt fehlen die Betragsstriche am x[sub]n+1[/sub].

Was ich noch nicht ganz verstehe ist der letzte Schritt, ich glaub der braucht noch 'ne Nebenrechnung. Oder ich bin grad zu doof.

 

[Bart]

Danke sehr, das hilft mir schonmal sehr gut weiter
Den letzten Schritt hab ich auch bisher nur teilweise geschafft zu zeigen, kannst du das beweisen?^^
Wenn nicht auch nicht schlimm, wozu gibts so schöne Formulierungen wie "man sieht leicht..." oder "offensichtlich gilt..."

 

[tdnpf]

Beitragsstriche - stimmt ja! ach, egal, weiß ja jeder was gemeint ist.
Und den Induktionsanfang habe ich auch vergessen. Aber für n=1 ist das ja trivial

Beim letzten Schritt bin ich mir grade nicht mehr so sicher. Ich behaupte zwar weiterhin, daß die Idee stimmt, allerdings fällt mir grad auf, daß ich |x_n+1| bei mir auf dem Schmierzettel vergessen habe :/
Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen

 

[DaPhreak]

Danke sehr, das hilft mir schonmal sehr gut weiter
Den letzten Schritt hab ich auch bisher nur teilweise geschafft zu zeigen, kannst du das beweisen?^^

Habs grad nochmal probiert: Was er im Grunde behauptet ist:

Wurzel(n*a) + Wurzel(b) <= Wurzel([n+1]*[a+b])

wobei a halt die Summe bis n ist und b das (n+1)-te Glied, damit auch a>=0 und b>=0.

Da beide Seiten der Ungleichung nichtnegativ sind, dürfen wir quadrieren:

n*a + 2*Wurzel(n*a*b) + b <= (n+1)*(a+b)
n*a + b + 2*Wurzel(n*a*b) <= n*a+a+n*b+b
2*Wurzel(n*a*b) <= a + n*b
0 <= a -2*Wurzel(n*a*b) + n*b
0 <= (Wurzel(a) - Wurzel(n*b))[sup]2[/sup]

Und das stimmt auf jeden Fall, da das Quadrat immer nichtnegativ sein wird. Von der wahren Aussage unten kann man damit rückwärts die gesuchte Ungleichung herleiten...

*edit*

Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen

Bittesehr, da ist er schon.

 

[Bart]

Das ist in der Tat korrekt. Der letzte Schritt ist natürlich tricky, da stand ich auch schon aber bin net drauf gekommen.
Danke wieder einmal an DaPhreak und natürlich danke sehr tdnpf

Bart