[Mathe] Funktion basteln

[joschilein]

Meine Schulzeit ist leider schon ein paar Jährchen her

Folgende Fakten sind bekannt:
f(0) = 1
f'(0) = 0
f(K) = 0,5
f''(K) = 0
f(S) = 0,01
lim (x->unendl.) f(x) = 0
Definitionsbereich [0, unendl.)
Wertebereich (0,1]

Kleine Veranschaulichung:

Wie bekomme ich nun die entsprechende Funktionsgleichung? Bis zum Punkt K sollte es eine (gestauchte) umgekehrte Parabel sein und ab K sowas wie 1/x für x>0. Aber wie bekomme ich solche Ansätze in eine Funktion, ohne dabei irgendwie abschnittsweise zu definieren?

 

[DaPhreak]

1) f(0) = 1
2) f'(0) = 0
3) f(K) = 0,5
4) f''(K) = 0
5) f(S) = 0,01
6) lim (x->unendl.) f(x) = 0

Wie bekomme ich nun die entsprechende Funktionsgleichung?

Ausschließlich durch friemeln.

Bis zum Punkt K sollte es eine (gestauchte) umgekehrte Parabel sein und ab K sowas wie 1/x für x>0.

Muss es genau 'ne Parabel sein, oder nur ungefähr so aussehen?

Aber wie bekomme ich solche Ansätze in eine Funktion, ohne dabei irgendwie abschnittsweise zu definieren?

Fakt ist: Ein Polynom scheidet aus, wegen der limes-Bedingung 6).


Mein erster Spontaner Gedanke war f(x) = e^(-a*x^2). Das fängt bei 1 an, hat da Anstieg null, geht monoton gegen Null, hat genau einen Wendepunkt. Den kann man allerdings nicht beliebig schieben und spätestens bei der f(S)-Bedingung ist alles zu spät.


Was funktionieren könnte sind gebrochen-rationale Funktionen. Damit sie gegen Null geht, sollte das Nennerpolynom nen höheren Grad als das Zählerpolynom haben, also sowas àla:

f(x) = (a*x+b)/(cx²+dx+e).

Bedingung 1 liefert b=e, Bedingung zwei a=d (wenn ich mich nicht verrechnet habe. Verbleiben drei Parameter. Die drei Bedingungen f(S)=0,01; f(K)=0,5 und f''(K) = 0 liefern drei Bedingungen für die verbliebenen Parameter. Man kann versuchen sie zu lösen und dann mal schaun wie die Kurve aussieht. Gibt aber erstmal noch keine Garantie, dass die Form dann hin haut.

Wenn das nicht gut aussieht, wirst Du den Grad erhöhen müssen, um mehr Freiheitsgrade zu haben, also
f(x) = (ax²+bx+c)/(dx³+ex²+fx+g). Das wird dann natürlich wuselig, die Bedingungen aufzustellen.

So weit erstmal meine Ideen...


*edit* Hab's mal durchgerechnet. Die Gleichungen auf die ich komme sind:
cS²/99 -aS = b.
cK²-aK = b.
acK³+3bcK²-b²=0.

Wenn ich die ineinander einsetze erhalte ich eine Gleichung in der der verbleibende Parameter sich leider rauskürzt, also nur noch die festen Vorgaben K und S drinstehen.

Das sagt uns so viel wie, dass dieser Ansatz nur für bestimmte K und S funktioniert und nicht für beliebige.

Wenn ich mich also nicht verrechnet habe, geht es mit der gebrochenrationalen Funktion mit 5 Parametern im allgemeinen nicht.

 

[joschilein]

Ausschließlich durch friemeln.

Ich habs fast befürchtet

Muss es genau 'ne Parabel sein, oder nur ungefähr so aussehen?

Es kommt nur auf das ungefähre Aussehen an, muss also nicht genau stimmen.

Was funktionieren könnte sind gebrochen-rationale Funktionen. Damit sie gegen Null geht, sollte das Nennerpolynom nen höheren Grad als das Zählerpolynom haben

Damit hatte ich auch schon rumgespielt und leider nichts brauchbares erhalten.

Ich hatte noch die Idee über die Umkehrfunktion zu gehen. Das sieht ja dann irgendwie wie eine -x^3 aus und es wäre egal, ob an der K Stelle nur ein Wendepunkt oder gleich ein ganzer Sattel stünde. Es wäre auch akzeptabel, wenn die zweite Bedingung eine sehr kleine Steigung hätte, so dass sich die Umkehrfunktion dann einen Grenzwert knapp daneben suchen könnte. Der Wert an der Stelle S muss auch nicht genau 0,01 sein, aber es muss ein recht kleiner und über K konstanter Wert sein. Jedenfalls hätte die Umkehrfunktion den Vorteil, dass man das K Problem durch einfaches verändern des Achsenabschnittes regeln könnte.

Aber so wie das ganze aussieht, werde ich wohl doch irgendwie abschnittsweise definieren müssen.. Jedenfalls schonmal danke für die ausführliche Antwort, ich bin jedenfalls beruhigt, dass ich nicht einfach nur irgendwas ganz einfaches vergessen habe