[Mathe] Extremwertaufgabe

[Haudi1985]

Hi, ich habe mal wieder ne Aufgabe wo ich nicht weiß, ob ich alles Richtig mache

Die Aufgabe:
Randextrema beachten

Von einer Glas-Tischplatte mit den Abessungen 64cm mal 144cm ist eine Ecke abgestoßen. Die Bruchkante ist Parabelförmig und kann durch die Gleichung
y = -(1/16)x² + 64 beschrieben werden (x;y in cm). Aus dem Rest soll eine möglichst große rechteckige Glasplatte herausgeschnitten werden. Bestimme sie deren Abmessungen.

So nun hab ich den Graphen mal gezeichnet und herrausgefunden, dass die Nullstellen bei
x1=-32 und x2= 32 sind und der Globale Hochpunkt bei [0/64] ist
Da oben steht ja, dass x;y in cm ist, darum habe ich jetzt 32+32 =64 gerechnet , die hab ich dann von der ursprünglichen länge von 144 cm abgezogen , also ist die Glasplatte nur noch 80 cm lang.

Die neunen Abmessungen wären dann 64 cm mal 80 cm.

Meine Frage, ist das Richtig oder hab ich die Aufgabe nicht richitg verstanden ?

 

[Ich-Ess-Nudeln]

ich verstehe zwar nicht genau was mit diesem Satz gemeint ist "Die Bruchkante ist Parabelförmig", aber wenn es eine Extremwertaufgabe ist musst du die maximale hoehe und maximale breite deiner glasplatte ausfinden


du musst eine funktion aufstellen, die abhaengig von der hoehe (oder der breite, das kannst du dir aussuchen) die Flaeche des neuen Tisches (rot) darstellt. diese Funktion hat dann einen Extremwert an dem die Flaeche am groessten ist. daran kannst du dann die Maße ablesen.

 

[Haudi1985]

ich verstehe zwar nicht genau was mit diesem Satz gemeint ist "Die Bruchkante ist Parabelförmig", aber wenn es eine Extremwertaufgabe ist musst du die maximale hoehe und maximale breite deiner glasplatte ausfinden


du musst eine funktion aufstellen, die abhaengig von der hoehe (oder der breite, das kannst du dir aussuchen) die Flaeche des neuen Tisches (rot) darstellt. diese Funktion hat dann einen Extremwert an dem die Flaeche am groessten ist. daran kannst du dann die Maße ablesen.

Ich schätz mal, das die Kannte dann ungefähr so aussieht





Sieht ganz schön komisch aus, ah ich raff wieder nichts

 

[Ich-Ess-Nudeln]

hmm, der Text ist dann trotzdem nicht eindeutig wie die Kante aussieht...
wird wohl so sein wie du gemalt hast, jedoch fehlen Angaben zu breite und hoehe der Bruchkante. oder du rechnest mit variabler breite und hoehe.
ist der Aufgabentext so formuliert wie du geschrieben hast?


naja falls du da mehr weisst:

die maximal moegliche Flaeche errechnest du, indem du die die Flaeche von der Hoehe abhaengig machst.da die Hoehe durch die die Bruchkante begrenzt und dadurch ist die Breite auch anders, die muss dann abhaengig von der Hoehe bestimmt werden, einzusetzen in die Grundgleichung F=b*h .

wie das nun mit der Ecke in Parabelform aussieht hab ich nicht verstanden, deshalb kann ich nicht weiterhelfen.

viel Glueck ansonsten


[NACHTRAG]

wenn es so aussehen soll und die obere Tischkante der x-achse entspricht(parabel gespiegelt), dann kannste das ja easy ausrechnen.
mit meinem Ansatz gehste so vor, nimsmt aber am besten variable breite, besser noch einfach x. das breitenstueck in cm, das weggeshcnitten werden muss.
x von 0 bis zur Nullstelle der Parabel laufen lassen quasi und dabei schauen wie gross die Flaeche ist.
p(x) = deine parabel...
bsp: x=0 -> hoehe=volle_hoehe - p(0) ; breite = volle_breite - x
allg.:F = ( volle_hoehe - p(x) ) * (volle_breite - x)

davon das maximum bestimmen und ab dafuer

 

[DaPhreak]

x von 0 bis zur Nullstelle der Parabel laufen lassen quasi und dabei schauen wie gross die Flaeche ist.
p(x) = deine parabel...
bsp: x=0 -> hoehe=volle_hoehe - p(0) ; breite = volle_breite - x
allg.:F = ( volle_hoehe - p(x) ) * (volle_breite - x)

davon das maximum bestimmen und ab dafuer

Ja, da wird's richtig.
Man kann halt entweder die volle Breite nehmen, dann muss man von der Höhe so viel wegnehmen, dass die Bruchkante nicht mit drin ist, also genau das Maximum der Parabel.
Oder die volle Höhe, dann muss man von der Breite so viel wegnehmen, dass die Bruchkante nicht mit drin ist, also genau den Punkt wo die Paralbel null geworden ist.

Oder irgendwas dazwischen, also von der Breite x wegnehmen und dann von der Höhe so viel, dass man genau unterhalb der Parabel ist, also p(x).

Deshalb bekommt man für die Gesamtfläche (64cm - p(x)) * (144cm-x). Das gibt ein Polynom dritten Grades. Für dessen Extrempunkte die erste Ableitung bilden, das ist dann ein Polynom zweiten Grades und das null setzen. Du wirst zwei Lösungen bekommen und solltest dann unbedingt noch prüfen welche davon Minima und welche Maxima sind.

*edit* Danach solltest Du nochmal die Fläche für x=0 und x=32 ausrechnen. Falls das mehr sein sollte wäre das dann so ein "Randextremum" (stand ja extra in der Aufgabe).


P.S.: Ich war mir jetzt allerdings nicht sicher was davon Höhe und was Breite ist, falls das Koordinatensystem andersrum ist dann (144-p(x))*(64-x). Habt ihr 'ne Skizze dazu?

 

[Haudi1985]

hmm, der Text ist dann trotzdem nicht eindeutig wie die Kante aussieht...
wird wohl so sein wie du gemalt hast, jedoch fehlen Angaben zu breite und hoehe der Bruchkante. oder du rechnest mit variabler breite und hoehe.
ist der Aufgabentext so formuliert wie du geschrieben hast?

Jep, mehr steht im Text nicht...

P.S.: Ich war mir jetzt allerdings nicht sicher was davon Höhe und was Breite ist, falls das Koordinatensystem andersrum ist dann (144-p(x))*(64-x). Habt ihr 'ne Skizze dazu?

Nein, gibt auch keine Zeichung dazu.
Aber ich schätze mal, Y(höhe) = 64cm und x(länge) = 144 cm


Okay Danke ihr beiden habt mir sehr geholfen, ich werd die Aufgabe heute nochmal durchgehen, und am Dienstag habe ich das nächste mal Mathe, dann schreib ich euch, ob das richtig war.

 

[joschilein]

Ich würde auch mal sagen, dass die Aufgabe nicht gut gestellt ist. Eure Skizzen sind sehr gut zur Ideenfindung, aber man kann sich nicht sicher sein, dass dieser Ansatz überhaupt stimmt. Es könnte schließlich auch eine Bruchkante geben, deren Scheitelpunkt wild in der Mitte der Platte liegt und dann (nur) eine Ecke mit abträgt. Auch dieser Bruch würde die genannte Bedingung erfüllen. Da auch nicht gesagt ist, dass der Bruch bis zur gedachten Koordinatenachse und damit bis zur Nullstelle gehen muss, könnte der Bruch auch nach außen gewölbt sein, also wie eine normale abgerundete Ecke. Bei x=+-4 beträgt die Steigung genau +-1/2, womit sich in der Verlängerung ein rechter Winkel und damit die abgebrochene Ecke ergeben würde.

Wenn man sich für die Variante entscheidet, dass das Bruchstück 64 cm hoch und 32 cm breit ist (also genau die Fläche zwischen x=0 und x=32) ergeben sich zwei Möglichkeiten.
1. Fall: Die 64cm nehmen einen Teil der 144cm ein, dann ergäbe sich für das maximale Reststück eine Abmessung von 80x64 (=5120 cm²).
2. Fall: Die 64cm nehmen die gesamte Breite (64cm) der Glasplatte ein, dann wäre das Reststück 112x64 groß (=7168 cm²).

Da beide Lösung gerade an der Grenze des Bruchstückes ansetzen, erscheint mir das ganze aber als zu leicht und daher ist die Aufgabe vielleicht doch anders zu verstehen.

 

[Haudi1985]

So müsste die abgebrochene kannte aussehen:



Also habs mal ausgerechnet:

A(x) = (144-x) (64-p(x))

Ableitung

a(x) = -(1/16)x³ + 9x²

a'(x) = -(3/16)x² + 18x

a''(x) = -(3/8 )x + 18

Nullstellen der 1. Ableitung

x01 = 0
x02 = 96

Min und Max bestimmen

Max = -18
Min = 18

Ok, aber irgendwie bringt mich das immernoch nicht weiter, was muss ich den noch machen ?

Wie kriege ich den nun die maße für das neue Rechteck her ?

 

[Ich-Ess-Nudeln]

wenn du weisst bei welchem X die Flaeche am groessten ist, kannst du doch die neue Hoehe & Breite bestimmen...

deine ableitung ist uebrigens falsch.
A(x) = (144-x) (64-p(x))
A(x) = (144-x) (64 - ( x^2/-16 + 64) )
A(x) = (144-x) ( x^2/16 )
A(x) = (144x^2 /16) - x^3/16
A'(x)= 288x / 16 - 3x^2/16
A'(x)= (288x - 3x^2) / 16
bzw vereinfacht
A'(x)= 3·x·(96 - x) / 16
=>
A''(x) = 3·(48 - x) / 8

 

[Haudi1985]

wenn du weisst bei welchem X die Flaeche am groessten ist, kannst du doch die neue Hoehe & Breite bestimmen...

deine ableitung ist uebrigens falsch.
A(x) = (144-x) (64-p(x))
A(x) = (144-x) (64 - ( x^2/-16 + 64) )
A(x) = (144-x) ( x^2/16 )
A(x) = (144x^2 /16) - x^3/16
A'(x)= 288x / 16 - 3x^2/16
A'(x)= (288x - 3x^2) / 16
bzw vereinfacht
A'(x)= 3·x·(96 - x) / 16
=>
A''(x) = 3·(48 - x) / 8

Hmm aber 0 und 96 sind ja garnicht im Wertbeberreicht, das bringt mir ja nichts


Warum soll meine Ableitung Falsch sein ? Du hast doch das gleiche wie ich raus :-/

A(x) = (144-x) (64-p(x))
A(x) = (144-x) (64-(-(1/16)x^2+64)
A(x) = (144-x) ((1/16)x^2)


A(x) = -(1/16)x^3 +9x^2
A'(x) = -(3/16)x² + 18x
A''(x) = -(3/8 )x +18

 

[Ich-Ess-Nudeln]

A(x) = -(1/16)x^3 +9x^2
A'(x) = -(3/16)x² + 18x
A''(x) = -(3/8 )x +18

muss "-" sein ...
aber hast Recht, ist des gleiche sorry

wenn die Bruchkante so verlaeuft, wie du in deiner letzten Graphik vorgefuehrt hast, dann sind die Abmeddungen der neuen Platte 64 * (144-32) = 64*122
genau am Ende des Bruchs.

Ob das eine sinnvolle Interpretation der Aufgabenstellung ist bleibt dahingestellt.

 

[DaPhreak]

Hmm aber 0 und 96 sind ja garnicht im Wertbeberreicht, das bringt mir ja nichts

0 schon, aber das ist ja ein Minimum.
96 nicht, richtig.

wenn die Bruchkante so verlaeuft, wie du in deiner letzten Graphik vorgefuehrt hast, dann sind die Abmeddungen der neuen Platte 64 * (144-32) = 64*122
genau am Ende des Bruchs.

Ob das eine sinnvolle Interpretation der Aufgabenstellung ist bleibt dahingestellt.

Denke schon, denn ganz oben schrieb er ja:

Die Aufgabe:
Randextrema beachten

Und x=32 ist ein Randextremum.