[Mathe] Beweis/Folgen und Grenzwerte

[iNoFear]

Hey Leute,
in Mathe machen wir grad Folgen und Grenzwerte. Unsere Aufgabe ist es, eine Umkehrung eines Satzes zu beweisen. Als wir Beweise gemacht haben sollen, war entweder mein Lehrer krank oder ich. Jetzt haben wir auch nen strengen Lehrer bekommen, der uns gleich in der ersten Stunde die Aufgabe gegeben hat und keiner versteht sie. Könnt ihr mir vielleicht erklären wie man auf das Ergebnis kommt?

Also hier die Aufgabe:

Beweisen Sie die Umkehrung vom folgenden Satz: Ist an = a1 * q^n-1 , so ist (an) eine geometrische Folge. (an # 0)

Also bei an ist das n als Index und bei a1 ist die 1 als Index. Bei q^n-1 ist n-1 der Exponent. Nur so nebenbei, falls die Gleichung uneindeutig ist.

Danke im Voraus.

MfG

EDIT:

Kann man die Umkehrung des Satzes vielleicht mit einer vollständigen Induktion beweisen? Ich hab mal herumgefragt und einer hat so eine Idee gehabt, mehr aber leider auch nicht.

 

[DaPhreak]

Die Behauptung die zu beweisen ist, ist:
a_n = a_(n-1) * q, für alle natürlichen n>=2 (wenn a1 das erste Glied ist).

denn das ist die Definition einer geometrischen Folge.

Und das geht induktiv.

IA: n=2 in Deine Formel eingesetzt -> a2 = a1 * q -> Stimmt.
IV: n=k -> a_k = a_(k-1)*q
IB: n=k+1 -> a_(k+1) = a_k * q

Naja und nu musste nur aus der IV die IB herleiten, was mit der gegebenen Formel machbar sein sollte.

HTH,
Flo.

 

[iNoFear]

Ok, danke dir für die Antwort

Ich hab dennoch nicht verstanden, wie du auf a_n = a_(n-1) * q, für alle natürlichen n>=2 gekommen bist. Wieso ist der Exponent bei q einfach weg?

MfG

 

[DaPhreak]

Ok, danke dir für die Antwort

Ich hab dennoch nicht verstanden, wie du auf a_n = a_(n-1) * q, für alle natürlichen n>=2 gekommen bist. Wieso ist der Exponent bei q einfach weg?

Ich hab gedacht das ist die Definition einer geometrischen Reihe: Das Folgeglied berechnet sich aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem (feste) Faktor. Oder andersrum: Der Quotient von aufeinanderfolgenden Gliedern ist eine feste Konstante q.

 

[iNoFear]

Sooo, ich hab hier die Aufgabe nochmal eingescannt, falls mir beim Eintippen einen Schreibfehler passiert ist.


Aufgabe

 

[DaPhreak]

Sooo, ich hab hier die Aufgabe nochmal eingescannt, falls mir beim Eintippen einen Schreibfehler passiert ist.

Ist schon richtig, genau so wie Du es zuerst geschrieben hattest.

Der Trick ist halt von der expliziten Form auf die rekursive Form zu kommen.

Mit explizit meine ich, dass man das n-te Glied direkt berechnen kann, wenn man das erste kennt (a_1) und q, nach der gegebenen Formel:
a_n = a_1 * q^(n-1)

Mit rekursiv meine ich, dass man das n-te Glied aus seinem Vorgänger berechnet (a_{n-1}), man für a100 also erst a1 bis a99 ausrechnen muss (rekursiv halt).
a_n = a_{n-1} * q

Zumindest verstehe ich die Aufgabe halt so. Die explizite Formel a_n = a_1 * q^(n-1) ist eben nicht die Definition der geometischen Reihe sondern eine Eigenschaft der geometrischen Reihe (obschon man sie auch so definieren könnte). Definiert ist sie rekursiv und deshalb ist obengenannter Schritt zu vollziehen. Das geht nunmal induktiv recht elegant.


*edit* Moment: Soll man nun das beweisen was dasteht oder die Umkehrung davon? Hab ich genau das falsche bewiesen?

 

[iNoFear]

ich glaube die Umkehrung oder? in der Aufgabe steht ja "Beweisen Sie die Umkehrung vom Satz..."

 

[DaPhreak]

ich glaube die Umkehrung oder? in der Aufgabe steht ja "Beweisen Sie die Umkehrung vom Satz..."

Ah okay, dann hatte ich das falsch verstanden. Ich dachte nach dem Doppelpunkt steht die Umkehrung von Satz III.2.

Nunja, der umgedrehte Weg ist trotzdem ähnlich. Auch das geht induktiv. Zu beweisen also: Ist (an) eine geometrische Folge, so gilt a_n = a_1 * q^(n-1) für n>=2.

Aus der Voraussetzung wissen wir, dass a_n = a_{n-1} * q.

Induktionsanfang: n=2. Aus der Voraussetzung: a_2 = a_1 * q^1 = a_1*q. Stimmt.
Induktionsvoraussetzung: n=k, also: a_k = a_1*q^{k-1}.
Induktionsbehauptung: n=k+1, also a_{k+1} = a_1 * q^k.

Naja und der Induktionsschritt ist nun nicht weiter schwer, wenn man die Definition der geometischen Reihe einsetzt.


Sorry für die gestiftete Verwirrung. *g*

 

[iNoFear]

hehe okay, danke dir habs jetzt einigermaßen verstanden

mal sehen was der lehrer dazu sagt ^^