[Mathe] Analysis/Kurvendiskussion

K

kettcaro

New member
4 Oktober 2007
2
0
Hallo, habe folgende Hausaufgabe auf und hab keine Ahnung wie das zu lösen ist.
Kann mir wer helfen?

1) Gegeben sei die Funktion f(x)=2x/(x^2+1)^2

a) Bestimmen Sie Definitionsbereich, Nullstelllen sowie Extrem- und Wendepunkte der Funtion und untersuchen Sie das Verhalten für x gegen unendlich.

b) Bescheiben sie die Veränderung des Graphen, wenn die Zahl "1" im Nenner des Bruchs ersetzt wird. Untersuchen Sie inbesondere die Zahlen "-1" und "0". Belgen Sie Ihre Aussagen!

2) Betrachtet werde nun die Funktion g(x)=1/x^2+1

a) Skizzieren Sie den Graphen und kommentieren sie, wie sie zu einer SKizze ohne Hilfe des Taschenrechners kommen können.

b) Die Normalparabel y=x^2 schneidet den Graphen von g(x). Berechnen Sie die Schnittpunkte und skizzieren Sie die Parabel in dasselbe Koordinatensystem wie g(x)

c) In Ihrer Skizze sollte nun eine Art Ellipse endecken. Bestimmen Sie dernen Flächeninhalt näherungsweise durch eine passende Rechung ( also nicht durch Skizzieren und Ausmessen). Erläutern Sie Ihr Vorgehen.


Ich wär wirklich sehr dankbar, wenn mir irgendwer helfen könnte!
 
Fangen wir doch mal ganz vorne an:

* Woraus ergibt sich denn der Definitionsbereich einer Funktion? Warum ist sie irgendwo definiert und irgendwo anders nicht?

* Was heißt denn "Nullstelle einer Funktion"?

* Was sind Extremwerte einer Funktion?

Und damit tasten wir uns dann langsam ran... Oder hattest du erwartet, dass dir hier jemand eine komplette Lösung postet?
 
nene, die solle unser junger mensch hier mal alleine herausfinden. Er/Sie hat ja ein Wochenende zeit. Wenn man so eine Aufgabe nicht mal am Wochenende schafft, wie dann in der Klausur?

Dennoch biete ich natürlich gerne meine Hilfe an! Aber für die erste Aufgabe hat marac ja schon gute Tips gegeben.
 
Starthilfe:

kettcaro schrieb:
1) Gegeben sei die Funktion f(x)=2x/(x^2+1)^2

a) Bestimmen Sie Definitionsbereich, Nullstelllen sowie Extrem- und Wendepunkte der Funtion und untersuchen Sie das Verhalten für x gegen unendlich.
Zum Vergrößern anklicken....

Definitionsbereich: Einfach mal ein bisschen googlen. Definitionsbereich ist also einfach nur eine Aussage D=[Hier dann alle x's die gelten]
Nullstellen: Funktion gleich 0 setzen und auflösen
Extremstellen: Erste Ableitung gleich 0 setzen und auflösen, Ergebnis(se) dann in die zweite Ableitung einsetzen (als x). Ist dieses Ergebnis positiv, haben wir einen lokales Minimum, ist es negativ, haben wir ein lokales Maximum. Um den genauen Wendepunkt rauszukriegen, das Ergebnis aus der Auflösung der ersten Ableitung in die Funktion einsetzen.
Wendepunkte: Genau wie Extrempunkte, nur eine Ableitung nach oben verschoben, also zweite Ableitung gleich null und mit der dritten nachprüfen. Einsetzen in die Funktion bleibt gleich.
Verhalten gegen Unendlich: Setz einfach einen Wert wie 100k in die Funktion ein, und das was da rauskommt, schreibst du dann so auf:
00264794.png
f(x)=z (z ist hier das Ergebnis). Für -Undendlich noch dasselbe
 
Naja drei Sachen kann man eigentlich immer ohne großen Aufwand sofort sehen bzw. sehr leicht ausrechnen.
1. Nullstellen (wann ist die Gleichungs bzw. hier der Zähler = 0?)
2. Definitionsbereich/-lücken (Wann ist der Nenner = 0?)
3. limes +- unendlich.

zu 1.:
Standardprozedur erkläre ich nicht, nur den Hinweis, dass doppelte Nullstellen auch schon auf Extremwerte hindeuten können.

zu 3.:
Das mag vielleicht schwer klingen, ist aber eigentlich das einfachste. Man teilt einfach (gedanklich, natürlich auch schriftlich wenn es verlangt wird) alle Bestandteile durch die größte Potenz (hier x^4, wenn man den Zähler ausmultipliziert) und alle andereren Potenzen (die nicht der höchsten entsprechen), tendieren bei x = +unendlich gegen 0, und es bleibt nur noch der Rest, quasi das "größte Unendlich". Sehr häufig geht y dann gegen 0 oder gegen +- unendlich, es kann aber auch gegen einen festen Wert gehen oder sogar gegen eine Funktion. Wenn die Annäherung an eine feste Zahl erfolgt (also i.d.R. 0 = x-Achse), überlegt man sich noch, ob die Annäherung von oben oder von unten erfolgt.

Aus diesen drei Informationen bekommt man schon eine sehr genaue Vorstellung vom Verlauf der Funktion - also wo schneidet sie die x-Achse? Wie verläuft sie an den Enden (im Unendlichen)? In welchen Bereichen verläuft sie über oder unter der x-Achse? Gibt es Defintionslücken? Verursachen diese einen Vorzeichenwechsel?
So kann man dann meist auch schon sehr schnell sehen a) wie viele und b) wo (ungefähr) Extrem- und Wendepunkte liegen.

Um dies dann genauer zu untersuchen - jetzt, nach ca. 1 min, in der man sich auch eine kleine Minizeichnung gemacht hat (keine Schönheit, nur zur Visualisierung) - fängt die Rechnerei an, also Ableitungen machen, genaue x-Werte errechnen (schriftlich für die bereits gemachten Gedanken und auch für die HP/TP/WP), zugehörige y-Werte errechnen usw.
 
Zuletzt bearbeitet:
Du musst dich einloggen oder registrieren, um hier zu antworten.
Zurück
Oben