Mathe Kreisbogen mittels Tangente berechnen

[theHacker]

Moin,

irgendwie steh ich grad aufm Schlauch... bin wohl aus der Übung

Ich hab folgendes Problem:
https://dummy.thehacker.ws/kreis.svg
r und t sind gegeben. Gesucht is der Kreisbogen OS[sub]1[/sub], der trivial is, wenn ich ? rauskrieg.

Mit dem Strahlenstahl zwischen [S[sub]1[/sub]S] und [S[sub]1[/sub]'T] allein wirds wohl nix, weil irgendwie die Info fehlt, wo die S-Punkte herkommen. Von der Konstruktion her is H der Mittelpunkt des Thaleskreis, um an die Tangenten zu kommen.

Jetzt hab ich grade noch mit dem Kosinussatz im Dreieck MTS[sub]1[/sub] rumprobiert. Damit würde ich auf mein ? kommen, wenn mir dann nicht S[sub]1[/sub]T fehlen würde

Hat wer n Ansatz? - Ich tipp mal drauf, dass das eigentlich ganz einfach is, ichs nur nicht seh

 

[sklemm]

Richtig kurz, weil ich gleich los muss:

r= Ankathete
r+t = hypothenuse
s1T = Gegenkathete --> Satz des Pythagoras

Hilft das oder hab ich was übersehen.

 

[theHacker]

Danke, das müsste es schon sein Pythagoras ... auf den hätte ich auch kommen können (/sollen)
Ich probiers gleich mal.

 

[transversalis]

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck M S1 T.

Der Cosinus von φ ist doch dann Ankathede / Hypothenuse, also r / ( r+t ).
Damit solltest Du φ rausbekommen, auch ohne dass Du S1T kennst.

 

[theHacker]

Der Cosinus von φ ist doch dann Ankathede / Hypothenuse, also r / ( r+t ).

Das hab ich grade eben auch gemerkt, wie mir in der Rechnung alles weggeflogen is und nur noch
φ = cos[sup]-1[/sup] (r : (r+t))
übriggeblieben is Ich habs mir doch gedacht, dass das eigentlich ganz einfach is.

Für meinen Kreisbogen dann nur noch einsetzen und ich krieg meinen Bogen
v := Bogen (OS[sub]1[/sub]) = (1:180°)⋅rπ⋅cos[sup]-1[/sup] (r : (r+t))

Wens interessiert, ich hab die Rechnung eigentlich nur gemacht, weil mich schon seit langem die Frage gequält hat: Wie weit kann man vom höchsten Gebäude der Welt (theoretisch) sehen?

Nur noch einsetzen - * bin selber gespannt, was da raus kommt*

r = 6371km
t = 830m
φ =0,92480315070002917784126607614174°
v = 102,83341850274654373653653513186km ≈ 103km

 

[DaPhreak]

Zwar schon etwas älter, aber da ichs grad gesehen habe eine fixe Ergänzung: So lange t<<r, was für Gebäude wohl immer gut stimmen dürfte kann man auch gleich die Gegenkathete des Dreiecks nehmen statt des Kreisbogens, also Wurzel((r+t)²-r²)=Wurzel(2*r*t+t²). Da immer noch t<<r ist vereinfacht sich das zu der gut zu merkenden Faustformel Sichtweite ungefähr gleich Wurzel(2*r*t).

Für die gegebenen Werte gibt das 102,839 km, stimmt also bis zur dritten Nachkommastelle.


Ich ergänze das deshalb weil ich mich selbst lange damit beschäftigt habe. Die Faustformel für unterwegs die ich mir am Ende gemerkt habe ist: Sichtweite = 3.6km * Wurzel(Gebäudehöhe in Meter). Hättest Du mich also nach der 830 gefragt, hätte ich überschlagen, dass die Wurzel aus 830 ein bisschen weniger als 30 ist (30²=900), also insgesamt etwas weniger als 30*3.6=108km rauskommen. Ich hätte wohl 100km gesagt.