Mathe Geometrie, oder doch Analysis?

K

knuppel

Well-known member
ID: 286075
L
8 September 2011
791
16
Hallo,

der Umfang eines Rechtecks beträgt 50cm. Wie groß müssen die Seiten des Rechtecks sein, damit dessen Diagonalen möglichst klein sind?

Wie geht man an so eine Aufgabe am besten ran?
 
Ich weiß nicht, ich habs mir vielleicht etwas einfach gemacht. ich bin davon ausgegangen, dass es sich um Quadrat handelt. Dann hab ich eine Seitenlänge von 12,5 cm und eine Diagonale von 25cm.

Ich bin mir jetzt nur nicht sicher ob das als Beweis ausreicht.
 
Am BEsten machst du dir eine Skizze, dann setzt du die eine Seitenlänge =x, die andere =25-x. Nun wendest du den Satz des Pythagoras an und erhälst damit die Diagonalenlänge in Abhängigkeit von x. Von dieser Zuordnung bestimmst du das MInimum - z.B. mittels Taschenrechner... und kommst exakt auf deine Lösung. Also: Viel Aufwand für die naheliegende Lösung!
 
Ok,

ich komme auf y=Wurzel(2x²-50x+624)

y ist hier die Diagonale.

Wie komme ich nun auf mein Minimum, mich stört die Wurzel.
 
knuppel schrieb:
Wie komme ich nun auf mein Minimum, mich stört die Wurzel.
Zum Vergrößern anklicken....
Durch logisches Denken?!? ;-)
Wie sieht denn der Graph von Wurzel(x) aus?
Die Wurzel von x ist dann minimal, wenn auch x minimal ist (allerdings nur für x >= 0)
Also kannst du einfach das Minimum des Wurzel-Inhalts bestimmen... (Was übrigens - was für ein Zufall - als Ergebnis 12,5 liefert ;-)
 
Nun ja, ich gab vom Wurzelinhalt die erste Ableitung gemacht, diese =0 gesetzt und bin dann auf 12,5 gekommen.
 
Und noch eine:

Gesucht ist die Funktion t der Tiefpunkte der Funktion f k(x)=(x-k)²+0,5k

Meine Lösung:

f k(x)=x²-2xk+k²+0,5k

f'k(x)=2x-2k

f'k(x)=0 => 2x-2k=0 => x=k

f''k(x)=2 das setze ich in f k(x) ein, welches dann meine t(x) ist

t(x)=(x-2)²+1

EDIT:

Da die zweite Ableitung (wenn ich es richtig gemacht habe) größer 0 ist handelt es sich ja um einen Tiefpunkt.

Nun setze ich x=k in meine Grundgleichung ein und habe dann t(x)=0,5k ??
 
Zuletzt bearbeitet:
Dass dein erster Gedanke mit der 2. Ableitung Quatsch war, hast du ja schon gemerkt. Der zweite Ansatz ist komplett richtig.
Das Bilden der 2. Ableitung hättest du dir aber auch sparen können, wenn du dir die Parabel grafisch vorstellst. Eine Gleichung zweiten Grades, bei der bei x² ein positives Vorzeichen steht, ergibt immer eine nach oben geöffnete Parabel. Folglich kann sie nur ein Minimum haben.
Prinzipiell hätte man sich alle Berechnungen sparen können, denn das Minimum einer nach oben geöffneten Parabel ist der Scheitelpunkt, und der lässt sich am leichtesten aus der "Scheitelpunktform" der Parabel ablesen:

f(x) = a*(x-xs)² + ys

Deine Ausgangsgleichung (x-k)² + 0,5k hat - oh Wunder - genau diese Scheitelpunktform. Also ist xs = k und ys = 0,5k oder anders gesagt t(k) = 0,5k... Ganz ohne Rechnung :mrgreen:
 
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