Mathe Frage zum Limes

[knuppel]

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe "gelöst":



Passt das so?

 

[CheNetzer]

Wie kommst du denn vom letzten Grenzwert auf 0?
Das ist ein Grenzwert vom Typ 1 durch Null und das ergibt Unendlich.

Wenn ihr l'Hospital schon kennt, kannst du den Grenzwert auf den von 2x+3 zurückführen und kommst auf Unendlich.

Ansonsten: Der Bruch im Zähler hat die höhere Potenz und die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner haben das gleiche Vorzeichen, also ist der Grenzwert Unendlich. Ist zwar kein Beweis, aber eine sinnvolle Faustregel.

Als dritte Methode könntest du auch durch x kürzen, nicht x².
Dann hast du den Bruch (x+3)/(1+1/x). Der Zähler geht gegen Unendlich, der Nenner geht gegen 1. (und Unendlich durch 1 ist ja wohl Unendlich)


mfg,
Ché Netzer

 

[DocTrax]

Polynomdivision hilft weiter.

x^2 + 3x / x-1 = x
-(x^2 -x)
------------------
4x

= x + (4x /(x-1))

lim_x->oo x = oo
lim_x->oo (4x /(x-1)) = oo , weil immer gilt 4x > (x-1)
lim_x->oo (4x /(x-1)) = 4

Klar?

 

[CheNetzer]

lim_x->oo (4x /(x-1)) = oo , weil immer gilt 4x > (x-1)

Die Ungleichung gilt zwar nur für x > -1/3, aber im Grenzwert spielt das natürlich keine Rolle.
Allerdings kannst du daraus nicht schließen, dass der Grenzwert Unendlich ist (!). Wenn man 2/1 (für x gegen Unendlich) betrachtet, ist der Zähler offenbar auch immer größer, aber der Grenzwert ist natürlich 2.
4x/(x-1) geht also gegen 4 (auch wenn das am "gesamten" Grenzwert nichts ändert).
Da müsstest du dann die Polynomdivision weiterführen:
4x/(x-1)=4 + 4/(x-1)
und das geht gegen 4+0.

Ansonsten hast du in 4x/(x-1) ja genau dasselbe Problem wie am Anfang.

mfg,
Ché Netzer

 

[DocTrax]

4x/(x-1) geht also gegen 4 (auch wenn das am "gesamten" Grenzwert nichts ändert).
Da müsstest du dann die Polynomdivision weiterführen:
4x/(x-1)=4 + 4/(x-1)
und das geht gegen 4+0.

lim x->0 interessiert doch nicht

 

[knuppel]

Wie kommst du denn vom letzten Grenzwert auf 0?
Das ist ein Grenzwert vom Typ 1 durch Null und das ergibt Unendlich.

Wenn ihr l'Hospital schon kennt, kannst du den Grenzwert auf den von 2x+3 zurückführen und kommst auf Unendlich.

Ansonsten: Der Bruch im Zähler hat die höhere Potenz und die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner haben das gleiche Vorzeichen, also ist der Grenzwert Unendlich. Ist zwar kein Beweis, aber eine sinnvolle Faustregel.

Als dritte Methode könntest du auch durch x kürzen, nicht x².
Dann hast du den Bruch (x+3)/(1+1/x). Der Zähler geht gegen Unendlich, der Nenner geht gegen 1. (und Unendlich durch 1 ist ja wohl Unendlich)


mfg,
Ché Netzer

Ich hab mir schon übelegt den l'H anzuwenden, nur weiß ich leider nicht mehr genau,wann ich das darf

 

[CheNetzer]

lim x->0 interessiert doch nicht

Habe ich auch nie behauptet.
Aber wenn x gegen Unendlich geht, geht doch 4/(x-1) wie gesagt gegen 4
Und damit ist auch lim_x->oo (4x /(x-1)) nicht Unendlich, sondern 4.
Hier auch zu sehen.

mfg,
Ché Netzer

 

[CheNetzer]

Ich hab mir schon übelegt den l'H anzuwenden, nur weiß ich leider nicht mehr genau,wann ich das darf

Wenn man einen Grenzwert vom Typ "Unendlich / Unendlich" hat. D.h. wenn Zähler und Nenner gegen Unendlich gehen, was hier ja der Fall ist. Und Minus Unendlich ist natürlich auch erlaubt (Vorzeichen rausziehen) und "Null durch Null" auch (Kehrwert des gesamten Bruches bilden und von Zähler und Nenner).

mfg,
Ché Netzer

 

[DocTrax]

Und damit ist auch lim_x->oo (4x /(x-1)) nicht Unendlich, sondern 4.

Hast Recht.

 

[smailies]

...Aber wenn x gegen Unendlich geht, geht doch 4/(x-1) wie gesagt gegen 4...

Das ist falsch, das strebt dann gegen Null

 

[CheNetzer]

Das ist falsch, das strebt dann gegen Null

Nicht, wenn ich die 4 im Zähler vorher gegen 4x laufen lasse
War natürlich ein Tippfehler, sonst aber überall richtig...

mfg,
Ché Netzer