Mathe Flächenberechnung Ellipse mit Doppelintegral

Steak

Steak

VfB-Fan
ID: 51362
L
25 April 2006
606
36
Habe von folgender Ellipse den Flächeninhalt zu berechnen:
((x-5)^2)/4 + ((y+1)^2)/9 = 1
Dieses soll über ein Doppelintegral geschehen. Ich bin nur etwas durcheinander, weil verschiedene Vorgehensweisen gibt. Soll ich hier in kartesischn Koordinaten rechnen oder lieber mit Polarkoordinaten? Soll ich die Gleichung nach x oder nach y auflösen und dann dafür de Grenzen einsetzen?
Vll. Kann mir jemand beim Ansatz helfen...
 
Nein, nur dass die Fläche berechnet werden soll, die von der Ellipse umschlossen wird. Und bisher hab ich mich mit allen Ansätzen ins Nirvana gerechnet ...
 
Hab auch schon im Internet alles durchforstet aber bei jeder propagierten Methode gibt es irgendwas wovon ich methodisch keine Ahnung habe, also irgendwie muss es da noch eine trivialere Vorgehensweise geben, denn die Übungsaufgabe muss ohne irgendwelche Kenntnisse über Kreisintegrale oder Determinanten lösbar sein :/
 
probiers mal so, das dürfte hinhauen:

1. Du kommst durch umstellen auf die beiden Grenzfunktionen zu kommen
2. Schnittpunkte der beiden Funktionen mit der x-Achse für die Grenzen des äußeren Integrals
3. Integral berechnen

Allerdings weiß ich nicht ob man die nach x umgestellte Funktion sofort benutzen kann. Aus dieser muss man möglicherweise den Kehrwert ziehen um von x(y) auf y(x) zu kommen.

Edit: Es reicht doch nach Y umzustellen. Durch ziehen der Wurzel erhältst du +sqrt(...) und -sqrt(...) -> deine Gleichungen.. mein Fehler
 
Zuletzt bearbeitet:
Also wenn ich zb für die Grenzen von x 3 und 7 einsetze und für y die beiden Ellipsen-Funktionen (+/- Wurzel) dann komm ich nachher und ungeheure Stammfunktionen, die selbst aus der Tabelle abgelesen einfach nur mal über 3 Zeilen gehen...
 
Steak schrieb:
Also wenn ich zb für die Grenzen von x 3 und 7 einsetze und für y die beiden Ellipsen-Funktionen (+/- Wurzel) dann komm ich nachher und ungeheure Stammfunktionen, die selbst aus der Tabelle abgelesen einfach nur mal über 3 Zeilen gehen...
Zum Vergrößern anklicken....

ja das stimmt aber mir würde nichts besseres einfallen :/

mit Polarkoordinaten hättest du einfachere Stammfunktionen, allerdings muss man die dafür drauf haben (hab ich nicht :D). Da müsste dann eine Tranformation durchgeführt werden
Quelle: https://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/115141,0.html
(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1

Transformation:

x=r*cos(phi) 0<r<1 und 0<phi<2pi
y=r*sin(phi)

det(PHI')=a*b*r

so jetzt haste nach Transformationsformel nur noch:


Int ( Int ( a*b*r)dr)dphi = a*b*pi
Zum Vergrößern anklicken....
 
Zuletzt bearbeitet:
Und bei Polarkoordinaten ist das Problem, dass es kein konstantes r gibt, ich müsste die gesammte Funktion nach r umstellen und dabei komm ich ebenfalls auf unendliches Kuddelmuddel in dem Fall :/

Edit: ich könnte natürlich auch einfach die Verschiebungen vom Ursprung ignorieren und die grenzen anpassen dann wär es wohl einfacher..
 
Zuletzt bearbeitet:
Also bin bis zur äußeren Integration gekommen. Habe nun aber A=4*Integral von sqrt(1/(9-5*sin^2(Phi)) mit den Grenzen für Phi von 0 bis Pi/2. Die Stammfunktion ist aber ebenfalls mehr als abenteuerlich zu bilden :(
 
Ja das sieht in der Tat nicht sehr schön aus :/ soll das eigentlich eine einfache Aufgabe sein oder Prüfungsniveau? Da muss man ja alle möglichen Integrationsmethoden beherrschen bei dem Teil 8O
 
Übungsaufgaben zu Mathe 2 (allg:Mehrfachintegrale) Normalerweise konnte man alle Aufgaben zu Fuß oder mit einem kurzen Blick in die Integraltafeln lösen, die wir gerechnet haben, also ich denke irgendwas übersehen wir ^^
 
Ich habs :D

(Hab mir die Internetseite nochmal angeguckt und jetzt nachvollzogen. Obwohl ich selber auf diese Umformung der Gleichung nicht gekommen wäre)

y^2/9 + x^2/4 = 1
<=> y^2/9 = 1 - x^2/4
<=> y^2 = 9 - 9x^2/4
<=> y^2 = 9/4 * (4 - x^2)
<=> y = +/- 3/2 * sqrt(4 - x^2)

A = 4*Int[Int[dy]dx] -> Grenze für x: 0 -> 2 (2 = Achse), Grenze für y = 0 -> 3/2 * sqrt(4 - x^2)
A = 4*Int[3/2 * sqrt(4 - x^2)]dx

Hierfür gibt es in den Integraltafeln eine recht einfache Lösung:
A = 4*(3/4*x*sqrt(4-x^2)+4arcsin(x/2)) mit den oben genannten Grenzen 0 und 2
und Schwupps...
A=6*pi

Probe: A=a*b*pi = 3*2*pi = 6pi ..

:D Lange Geburt aber naja, hoffentlich kommt sone Murkserei nicht in der Klausur dran ^^
 
Zuletzt bearbeitet:
Du musst dich einloggen oder registrieren, um hier zu antworten.
Zurück
Oben