[Mathe] Lösen allgemein Quadratischer Gleichungen

H

HellT

Well-known member
20 April 2006
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77
Hallo Klammunity,
ich habe mal wieder eine Frage zu einer Matheaufgabe. Ich probiere schon den ganzen Abend rum, aber irgendwie komm ich einfach nicht auf den richtigen Rechenweg. Da dachte ich mir, dass ich doch hier mal um Hilfe bitte. :p

Also erstmal die Aufgabe:
x²-1-7x(x+1)(x-1)=0

So, jetzt mein Versuch:
x²-1-7x(x+1)(x-1)=0
x²-1-7x(x²-2x+1)=0
x²-1-7x³-14x²+7x=0

so, nun tritt auch schon das Problem auf. x³, damit kann ich ja mal garnichts anfangen, dass muss doch irgendwas mit x² sein. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen, ich bin langsam am verzweifeln. :-?


MFG
darkhell
 
entschuldige, sollte ich mich irren, aber:

x²-1-7x(x+1)(x-1)=0 |3. Binomische Formel?
x²-1-7x(x²-1)=0
x²-1-7x³-7x=0
7x+x²-7x³=1


Das Problem mit x³,x²,x,x° besteht aber weiterhin....aber gibt es nicht für diese Folge eine bestimmte Formel?
Diesbezüglich kann ich leider nicht weiterhelfen, aber meiner Meinung ist oben ein Rechenfehler....aber vielleicht irre ich mich ja auch
 
Glurak schrieb:
Kann auch völlig daneben sein, aber sagt dir der Begriff Polinomendivision etwas?

Gruß
Zum Vergrößern anklicken....

Sagt mir garnichts.

asra schrieb:
entschuldige, sollte ich mich irren, aber:

x²-1-7x(x+1)(x-1)=0 |3. Binomische Formel?
x²-1-7x(x²-1)=0
x²-1-7x³-7x=0
7x+x²-7x³=1


Das Problem mit x³,x²,x,x° besteht aber weiterhin....aber gibt es nicht für diese Folge eine bestimmte Formel?
Diesbezüglich kann ich leider nicht weiterhelfen, aber meiner Meinung ist oben ein Rechenfehler....aber vielleicht irre ich mich ja auch
Zum Vergrößern anklicken....


Ok, vielen Dank. Einen kleinen Fehler hab ich durch deine Hilfe schonmal gefunden. Ich habe ausversehen mit der zweiten binomischen Formel gerechnet, dabei ist es ja die dritte. ^^
Aber trotzdem besteht noch mein Problem. Denn so kann man ja nicht die p-q-Formel anwenden. Kann man da vllt. irgendetwas mit der quadratischen Erweiterung oder so machen?
 
Für PQ brauchste nen Polynom 2. Grades, das weißte ja schon mal...
Also muss man das ganze dahinbringen...

Du musst erstmal eine Nullstelle raten / wissen...
Entweder du nutzt das Horner Schema um aus dem 3. einen 2. Grad zu machen und hast dadurch schon eine Nullstelle und kriegst die anderen beiden durch PQ oder

du rätst eine Nullstelle (x=1 so als Tipp?? :) ) und machst dann die oben angesprochene Polynomdivision und dann PQ...

Was nun Polynomdivion und Horner Schema ist, sollte man eigentlich lernen bei diesen Aufgaben...
 
Schruppinator schrieb:
Für PQ brauchste nen Polynom 2. Grades, das weißte ja schon mal...
Also muss man das ganze dahinbringen...

Du musst erstmal eine Nullstelle raten / wissen...
Entweder du nutzt das Horner Schema um aus dem 3. einen 2. Grad zu machen und hast dadurch schon eine Nullstelle und kriegst die anderen beiden durch PQ oder

du rätst eine Nullstelle (x=1 so als Tipp?? :) ) und machst dann die oben angesprochene Polynomdivision und dann PQ...

Was nun Polynomdivion und Horner Schema ist, sollte man eigentlich lernen bei diesen Aufgaben...
Zum Vergrößern anklicken....

Ich muss zugeben, dass ich von Polynom und Horner Schema noch nie etwas gehört habe. Ich wiederhole momentan den Stoff aus der 9. Klasse. Im Buch habe ich auch nichts über Polynom und Horner gefunden. Dort finde ich auch nur die PQ-Formel.
Die Unter-Überschrift von dem Bereich heißt übrigens "Binomische Formel und Ausklammern", vllt. hilft das ja weiter. Also das mit der binomischen Formel ist ja bereits geklärt.
 
Ich glaub ich hab es jetzt durch euren Tipp geschafft.

x²-1-7x(x+1)(x-1)=0
x²-1-7x(x²-1)=0
-7x³+x²+7x-1=0 l :-7
x³-1/7x²-x+1/7=0
(x²-1/7-1)x+1/7=0
(x²-1/7x-1)*1+1/7=0
x²-1/7-1+1/7=0
x²-1/7-6/7=0

p= -1/7 ; q= -6/7

x1,2= -p/2 +/- Wurzel(p²/4-q)
x1,2= 1/14 +/- Wurzel((1/7)²/4 + 6/7)
x1,2= 1/14 +/- Wurzel(1/49/4 + 6/7)
x1,2= 1/14 +/- Wurzel(1/196 + 6/7)
x1,2= 1/14 +/- Wurzel(169/196)
x1,2= 1/14 +/- 13/14

x1= 1/14 + 13/14 v x2=1/14 - 13/14
x1= 1 v x2= -12/14 = -6/7



Aber wie kommt man dadrauf einfach x=1 zu setzen? Ich kann mich nicht daran erinnern soetwas schon einmal gemacht zu haben.
 
Neeee.... Nicht einfach x ausklammern und auf 1 setzen, sondern (x-1) ausklammern, da du ja schon weißt, dass x=1 eine der (bis zu) drei gesuchten Nullstellen ist...

Du hast ein Polynom dritten Grades, das üblicherweise drei Nullstellen hat.
Deine PQ-Formel funktioniert dummerweise aber nur für Polynome zweiten Grades. Eine mögliche - und in der Schulmathematik übliche - Lösungsmöglichkeit ist es nun, eine Nullstelle zu raten (üblicherweise liegt diese dann irgendwo ganzzahlig zwischen -2 und +2) und diese auszuklammern.
Wenn du also x=1 als erste Lösung "geschickt geraten" hast, wird aus
-7x³+x²+7x-1=0
damit
(x-1)(-7x²-6x+1)=0

Der ganze Term wird also dann Null, wenn entweder x = 1 (und damit die erste Klammer = 0) oder -7x²-6x+1 = 0. Und diese zweite Klammer kannst du mit der PQ-Formel lösen.

Dass deine Lösung nicht stimmen kann, erkennst du doch schon einfach dadurch, dass nicht Null rauskommt, wenn du das Ergebnis oben einsetzt...

Übrigens "sieht" man die Lösung eigentlich schon viel früher. Wenn du dir deine Ursprungs-Aufgabe ansiehst, beginnt diese mit x²-1, was ja nichts anderes ist als (x+1)(x-1). Damit kannst du dies bereits ganz zu Anfang ausklammern, übrig bleibt: (x+1)(x-1)(1-7x)=0. Da hast du doch deine drei Nullstellen schon direkt dastehen...
 
Also wenn das Thema Binomische Formeln und Ausklammern ist, funktioniert die Lösung folgendermaßen:

x²-1-7x(x+1)(x-1)=0 |3. Binomische Formel
x²-1-7x(x²-1)=0 |(x²-1) ausklammern
(x²-1)(1-7x)=0 |damit das Produkt = 0 ist, muss einer der Faktoren = 0 sein
x²-1=0 v (1-7x)=0
x=+-1 v x=1/7
 
ok, vielen Dank schonmal euch beiden. Bin schonmal nen guten Schritt weiter gekommen. Wenn ihr mir jetzt nochmal zum Verstehen einen Rechenschritt erklären könntet.

x²-1-7x(x²-1)=0 |(x²-1) ausklammern
(x²-1)(1-7x)=0


Da geht doch einmal x²-1 "verloren". Und woher kommt die 1 in bei (1-7x)?


Edit: Habs verstanden. xD

Vielen Dank euch allen nochmal, dass ihr euch so große Mühe gegeben habt.
 
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