timo_hildebrand
VFB Fan oO
- 21 April 2006
- 1.072
- 92
Hi,
wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn ich in einer Gleichung die Lösung 0=0 bekomme?
wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn ich in einer Gleichung die Lösung 0=0 bekomme?
[Mathe] Gleichung 0=0
- Ersteller timo_hildebrand
- Erstellt am
Da 0=0 offenbar immer wahr ist, ist die Lösungsmenge wohl gleich der Menge aller erlaubten Werte für all Deine Variablen. Wenn die Gleichung also beispielsweise aus einer Bedingung für ein relles x entstanden ist, erfüllen alle reellen x die Gleichung also wäre die Lösungsmenge die Menge aller rellen Zahlen. Für mehrere Variablen entsprechend... die gesamten Definitionsbereiche aller Variablen sind erlaubt.
Undertaker
Well-known member
- 21 April 2006
- 2.095
- 52
fachausdruck dafür:
Die gleichung mit der Lösung 0=0 ist "allgemeingültig". Die definition von allgemeingültig hat daPhreak bereits gepostet
Die gleichung mit der Lösung 0=0 ist "allgemeingültig". Die definition von allgemeingültig hat daPhreak bereits gepostet
jackmaster
\m/
- 7 Mai 2006
- 214
- 16
Wenn das zum Beispiel das Ergebnis eines Schnittes zweier Geraden ist, dann kannst du das schreiben als L={x|<eine der beiden Geraden-Gleichungen>}, wobei die Pipe (der senkrechte Strich) umgangssprachlich soviel wie "wobei gilt:" heisst. Frei übersetzt hieße der Ausdruck "alle x, die die Bedingung <eine der beiden Geraden-Gleichungen> erfüllen".
flaschenkind
Well-known member
- 20 April 2006
- 4.507
- 337
Letzes Jahr in Mathe hieß es dann immer L={Q}
flaschenkind
Well-known member
- 20 April 2006
- 4.507
- 337
0 ist ja gleich 0, genauso wie 100=100 oder 234=234 und so. Diese Lösung ist immer wahr und wenn du eine Gleichung hast, bei der ein solches Ergebnis rauskommt, kannst du für x jede beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung ist immer richtig 
Wenn du dagegen aber z.B. 0=1 raushast, was ja falsch ist, dann weißte, dass die Gleichung gar nicht zu lösen ist.
Wenn du dagegen aber z.B. 0=1 raushast, was ja falsch ist, dann weißte, dass die Gleichung gar nicht zu lösen ist.
Es hängt von der gewählten Menge ab. Hier sollte es wohl auch heißen L=Q und Q ist die Menge der rationalen Zahlen. Häufig werden ja auch reelle (R) und komplexe Zahlen (C) genommen.
Oder das man was falsch gemacht hat, z.B. durch 0 zu teilen
Vielleicht noch ein anderer Weg, das zu erklären:
wenn du stehen hast
0=0 . Dann darfst du ja auf beiden Seiten +x rechnen. Dann steht dort x=x.
Wie flaschenkind schon sagte, kannst du nun für x alle zulässigen Werte einsetzen und was kommt raus? Logischerweise der gleiche Wert, den du eingesetzt hast.
Folglich besteht die Lösungsmenge aus allen Werten, die du für x einsetzen darfst.
Im achten Jahrgang ist die meist Q (wenn ihr schon mit Wurzeln rechnet, dann eher R). Seltener gibt es Aufgaben, in denen laut Aufgabenstellung nur positive (oder negative) Werte für x genommen werden gürfen. Dann sind natürlich auch nur alle positiven (oder negativen) Werte in der Lösungsmenge.
Und wann ist das bitte der Fall?
"Tautologie" ist der Fachausdruck. Das andere ist eine Erklärung (eine zutreffende!)
Wenn du eine Gleichung mit einer Variablen hast, und versuchst die Gleichung derart aufzulösen, daß auf der einen Seite die Variable und auf der anderen Seite ein Wert dafür steht, dann kann es passieren, daß Du auf solch eine Tautologie stößt.
Wie schon angemerkt wurde, ist die Erklärung dafür: indem Du die Gleichung umformst, versuchst Du all diejenigen Werte zu ermitteln, die - anstelle der Variablen eingesetzt - die Gleichung erfüllen.
Einfache Beispiele:
2x = 10wenn ich für x den Wert 5 einsetze, dann stimmt die Gleichung, setze ich aber den Wert 4 ein, ist das eine glatte Lüge (weil 2*4=8 und nicht 2*4 = 10)
2x = 5+x
2x - x = 5+x -x
dann bleibt letztlich stehen:
x = 5
Nun nimm mal eine Gleichung wie
2x = x+x
auf beiden Seiten x abziehen2x -x = x+x -x
x = x
nochmal auf beiden Seiten x abziehen liefert0 = 0
wiederum eine Tautologie. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung wahr ist, ganz egal, welchen Wert x hat:2*5 = 5 + 5
2*128560 = 128560 + 128560
...
Alles klaro?
Zuletzt bearbeitet:
Benutzer-6744
abgemeldet
- 2 Juli 2006
- 6.295
- 601
Zumindest kann man dem Ergebnis "Division durch null" einen definierten Wert zuweisen und eine dazu passende erweiterte Arithmetik definieren. So geschehen in IEEE 754: Zu den normalen floats gibt es noch +INF, -INF und NaN (not a number). Dann definiert man:
<positive Zahl> / 0 := +INF
<negative Zahl> / 0 := -INF
0 / 0 := NaN
Und so kann man weitermachen:
(+INF) + (+INF) = +INF
(+INF) - (+INF) = NaN
(+INF) * (+INF) = +INF
(+INF) / (+INF) = NaN
(+INF) * (-INF) = -INF
etc.
Wenn man das konsequent macht kommt eine in sich geschlossene Algebra raus.
Man darf aber nicht vergessen, dass deshalb "Durch-Null-Teilen" trotzdem keine äquivalente Umformung ist. Die Vergleichbarkeit geht verloren, denn ein +INF, -INF, NaN ist nie gleich einem anderen. Das einzige was an Vergleichen zulässig ist ist +INF > -INF.
Zur Lektüre empfohlen: IEEE 754, insbesondere der dort verlinkte Artikel "What Every Computer Scientist Should Know about Floating-Point Arithmetic" von David Goldberg.