[Mathe] Notation von Permutationen

[SvenF311]

Hallo Leute,

mal angenommen ich möchte das innere Produkt zweier Vektoren x und y maximieren indem ich die Reihenfolge der Elemente in Vektor y variiere. Wenn ich jetzt die optimale Permutation s[sub]max[/sub] der Indizes i = { 1, 2, ..., N } beschreiben möchte, wie bringe ich das zu Papier bzw. wie sieht die Notation aus, um klar zustellen, dass s (unter dem "arg max") die permutierten Indizes darstellen soll?

Bisher habe ich

s[sub]max[/sub] = arg max[sub]s \in {1,2,...,N}[/sub] { sum[sub]\forall i[/sub] x[sub]i[/sub] y[sub]s(i)[/sub] },

aber irgendwie erscheint mir das nicht ganz passend / richtig zu sein.

TIA & MfG
Sven

 

[DaPhreak]

s[sub]max[/sub] = arg max[sub]s \in {1,2,...,N}[/sub] { sum[sub]\forall i[/sub] x[sub]i[/sub] y[sub]s(i)[/sub] },

So wie Du es schreibst suchst Du s in der Menge {1,2,...,N}, dann ist s ein Element der Menge, also eine Zahl zwischen 1 und N.

Was Du eigentlich suchst ist ein n-Tupel aus einer Menge von (permutierten) n-Tupeln.

Ich würde es ungefähr so machen:

Sei P die Menge aller Permutationen des Tupels (1,2,...,N).

Dann suchen wir s[sub]max[/sub] = arg max[sub]s \in P[/sub] { sum[sub]i=1...N[/sub] (x[sub]i[/sub] y[sub]s(i)[/sub]) }.

Eventuell müsstest Du noch die Notation s(i) definieren, weiß nicht genau ob das Standard ist für "Zugriff auf ein Element eines Tupels".

Könntest das ja auch so definieren: s = (s[sub]1[/sub], ..., s[sub]N[/sub]) und dann in der Summe s[sub]i[/sub] benutzen.

Ich benutze halt runde Klammern für Tupel, geschweifte für Mengen. Für N=3 wäre P damit: P = {(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1),(2,1,3),(3,1,2),(3,2,1)}.


Ein bisschen umständlich ist meine Variante. Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das noch einfacher gehen könnte, aber mir fällt auch nichts besseres ein grade.

 

[sklemm]

Hab mir jetzt gerade Gedanken darüber gemacht, was für mich die intuitivste Notation wäre und bin zu folgendem gekommen:

Sei S eine Abbildung

S: {1,2, ...,N} -> {1,2, ...,N}
i |-> s(i) mit s(a) \neq s(b) \forall a \neq b; a,b \in {1,...,N}

S_max := arg max_S {sum i=1...N (x_i y_S(i)) }

Ich hoffe ich hab jetzt nirgends einen Denkfehler. Und die Tatsache das S als Konkrete Abbildung definiert ist verträgt sich mit dem arg max.

Aber wirklich was anderes als das was daPhreak geschrieben hat ist es auch nicht, ich finde nur die Permutation als Abbildung schöner als das Tupel

MfG HTH

 

[DaPhreak]

Sei S eine Abbildung

Wow, super Idee. Finde ich voll elegant, man spart sich sowohl das mit den Permutationen als auch den Krampf mit der Menge aus Tupeln. Gefällt mir. Ich glaub ich hätte doch Mathe studieren sollen.


*edit* Mein 1000ster und gar nicht gemerkt

 

[sklemm]

Wow, super Idee. Finde ich voll elegant...

*rotwerd* Danke

Und Grats zum 1000sten!

 

[SvenF311]

Besten Dank an euch beide, das mit der Abbildung sieht richtig gut aus! Ob sich das mit dem arg max verträgt und ob die Indizes tief gestellt oder in Klammern gehören soll mir jetzt mal egal sein. Hauptsache es ist (für nicht-Mathematiker) so ungefähr ersichtlich was gemeint ist.

Und auch von mir Gratulation zum 1000sten.

MfG
Sven


<edit>
@sklemm: Eigentlich hättest du für deine Antwort noch ein positives Reno verdient, aber das Forum stellt sich quer und lässt mich dir leider keine Bewertung mehr geben.
</edit>