Ebenengleichung aufstellen (Punkte herausfinden)

[Tab]

Hallo liebes Forum,

ich sitze schon seit mind. 1 Stunde vor einer Matheaufgabe die ich einfach nicht gelöst bekomme.

Eine Ebene geht durch den Punkt P(7/3/-1) und ist zu einer Gerde mit dem Richtungsvektor (1/-1/2) orthogonal.

Aufgabe: Aufstellen der Gleichung von E in Parameterform.

Wie kann ich vorgehen?

Die Gerade die orthogonal zu E sein soll, müsste folgendermaßen heißen?

g(x)=(7/3/-1) + s(1/-1/2)

Oder muss es so aussehen:

g(x)=(7/3/-1) + s(-7+1/-3-1/1+2)

Liebe Grüße und vielen Dank!

 

[DaPhreak]

Eigentlich ein klassischer Fall für die Hessesche Normalform: Dazu brauchst Du nur einen Punkt der Ebene (p) und den Normalenvektor, der auf der Ebene senkrecht steht (n). In Deinem Fall wäre letzteres der Richtungsvektor der Gerade.

Dann ist die Ebene die Menge aller x für die

<x-p,n>=0, wobei <.,.> das innere Produkt (Skalarprodukt) ist.

Grund: Wenn p und x Punkte der Ebene sind, dann ist x-p ein Vektor der in der Ebene liegt. n ist senkrecht auf allen Vektoren in der Ebene und senkrecht heißt, dass das Skalarprodukt verschwindet...

Dann muss man nur einsetzen. In deinem Fall:

<[x,y,z] - [7,3,-1],[1,-1,2]>=0
<[x-7,y-3,z+1],[1,-1,2]>=0
(x-7)-(y-3)+2(z+1)=0
x-y+2z=2


*edit* Ich sehe gerade, ihr sollt eine "Parameterform" angeben, wie sieht die bei euch aus, was bezeichnet das?

*edit2* Grad nochmal gesucht, scheinbar bezeichnet Parameterform häufig die Darstellung einer Ebene mit einem Punkt und zwei Richtungsvektoren. Die ist aber auch nicht schwer zu bilden, dazu muss man nur zwei linear unabhängige Vektoren a und b finden, die zu n orthogonal sind, also <a,n>=0 und <b,n>=0. Beispielsweise a=[1,1,0] und b=[2,0,-1]. Dann wäre die Parameterform

x = p+s*a+t*b = [7,3,-1]+s*[1,1,0]+t*[2,0,-1]

oder in Koordinatendarstellung
x = 7+s+2t
y = 3+s
z = -1-t