Mathe 2 Schnittpunkte einer waagerechten Tangente

[deruppert]

Hallo Leute,

Ich habe heute eine Aufgabe gehabt, auf deren Ergebnis ich einfach nicht komme:

Die Exponentialfunktion f(x) = x² * e^(-x) hat mit einer waagerechten Tangente 2 Schnittpunkte. Beweisen/Begründen Sie.

Ich habe keinerlei Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Durch das Schaubild weiß ich zwar, das es Tangenten gibt mit 2 Schnittpunkten mit der Funktion, allerdings nicht mit einer waagerechten Tangente (jedenfalls nicht für mich verständlich)
Wäre dankbar über jeden Tipp oder Lösungsansatz!

 

[DaPhreak]

Waagerechte Tangenten gibt es immer da, wo der Anstieg der Funktion null ist (also in Maxima/Minima/Sattelpunkten). Die gegebene Funktion hat ein Minimum bei 0 und ein Maximum bei 2.

Die Gleichung der Tangente lautet y=f(0) bzw. f(2).

f(0)=0, scheidet also aus, da man zeigen kann f(x) immer > 0 ist (außer bei x=0).
f(2) = 4*e[sup]-2[/sup] = 0.5413. Nun bleibt zu zeigen, dass es noch einen anderen Wert x gibt für den f(x) = 4*e[sup]-2[/sup]. Das geht, da man beweisen kann dass f(x) monoton fallend für x in (-inf,0) ist und in dem Intervall von +inf auf 0 fällt. Damit muss es dort einen weiteren Schnittpunkt geben. Stichwort Zwischenwertsatz.

So in der Art würde ich das interpretieren.


Bild:

 

[deruppert]

Danke für die schnelle Antwort!

Wenn in der Aufgabe steht, das die Tangente 2 Schnittpunkte mit der Funktion hat, dann kann man die Berührpunkte auch dazuzählen?
Weil das mit den Hoch- und Tiefpunkten ist mir auch schon in den Sinn gekommen, aber da es ein Berührpunkt ist, ist ja kein echter Schnittpunkt!
Andererseite haben die Punkte als einzige Punkte die Steigung 0 ...


Ich hab diese Aufgabe für eine Freundin aus der 12. gemacht und hab selbst mein Abi gerade hinter mir, aber der Zwischenwertsatz sagt mir persönlich nichts...macht man das bis zum Abitur?
(Die Aufgabe ist von einem Referendar gestellt, vielleicht hat er es auch einfach verpeilt )

 

[DaPhreak]

Wenn in der Aufgabe steht, das die Tangente 2 Schnittpunkte mit der Funktion hat, dann kann man die Berührpunkte auch dazuzählen?

Jenachdem wie man Schnittpunkte definiert. Für mich haben zwei Funktionen f(x) und g(x) einen Schnittpunkt x0 wenn f(x0)=g(x0) und das wäre bei einem Berührungspunkt durchaus erfüllt.

Zählt man die Berührungspunkte nicht dazu, hat die Aufgabe mit keiner waagerechten Tangente zwei Schnittpunkte.

der Zwischenwertsatz sagt mir persönlich nichts...macht man das bis zum Abitur?

Ich hatte den iirc in der 11ten. Ist halt nur ne formale Begründung für die Argumentation: Wenn f(x) in [a,b] stetig ist wird jeder Wert zwischen f(a) und f(b) irgendwann innerhalb des Intervalls auch angenommen.

 

[deruppert]

Ah okay .. wenn man es so begründet schaut die Sache schon anderst aus
Dann werd ich ihr das mal so erklären..

Vielen Dank für deine Antwort und Hilfe.
Hast mir sehr geholfen