Mathe Wie rechne ich um? [erledigt, danke :)]

D_Blade

D_Blade

pfff (¬_¬)ﾉ
ID: 316129
L
31 März 2008
7.412
382
Hallo Klammunity,

ich hoffe mal, dass ich hier die richtigen treffe.

Ich habe folgendes Problem:

ich möchte wissen wie man von

Wurzel(-2*i) auf 1-i kommt

oder anders ausgedrückt wie man von

Wurzel(-2* Wurzel(-1)) = 1 - i kommt.

Das Ergebnis ist richtig, da es der Rechner ja so ausspuckt, aber wie errechnet man das ohne techn. Hilfsmittel?

P.S. Es handelt sich um komplexe Zahlen und nicht um reelle Zahlen.
 
Zuletzt bearbeitet:
Vllt. hast du was falsch abgeschrieben? Aber Wurzel(2) kann sich in einer solchen Rechnung ja nicht in Wohlgefallen auflösen.

Wurzel (-2*i) = -i*Wurzel(2)
 
Also ich erinnere mich dunkel an das 1. Semester Mathe zurück, aber durch einfache Umformungen war das nicht lösbar.
Ich glaube man musste es in die Exponentialform umwandeln und dann ausrechenen, so wie hier: Wurzeln aus komplexen Zahlen

Wie man das nun aber genau gemacht hatte, daran erinnere ich mich gerade nicht mehr.
 
Wurzel (-2i) = Wurzel (2*e(-i*pi/2)) -> nach z= a+bi = |z| * e(i*phi)
Wurzel (2*e(-i*pi/2))= Wurzel (2)*e(-i*pi/4)

Wenn du dir diese Zahl nun am Einheitskreis anschaust, dann ist es ein Zeiger mit der Länge Wurzel(2) und einem Winkel von -pi/4, was -45° entspricht. Und genau diese Position hat auch 1-i.

1-i = |Wurzel (1² + (-1)²)| * e(i*phi) mit phi = arctan (im(z)/re(z)) = arctan(-1/1) = -45° = -pi/4

ergibt: 1-i = Wurzel(2)*e(-i*pi/4)

Form lässt leider zu wünschen übrig :(
 
Pontius schrieb:
Wurzel (-2i) = Wurzel (2*e(-i*pi/2)) -> nach z= a+bi = |z| * e(i*phi)
Wurzel (2*e(-i*pi/2))= Wurzel (2)*e(-i*pi/4)

Wenn du dir diese Zahl nun am Einheitskreis anschaust, dann ist es ein Zeiger mit der Länge Wurzel(2) und einem Winkel von -pi/4, was -45° entspricht. Und genau diese Position hat auch 1-i.

1-i = |Wurzel (1² + (-1)²)| * e(i*phi) mit phi = arctan (im(z)/re(z)) = arctan(-1/1) = -45° = -pi/4

ergibt: 1-i = Wurzel(2)*e(-i*pi/4)

Form lässt leider zu wünschen übrig :(
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Danke für die Antwort. Uff, darauf wäre ich im Leben nie gekommen :-/


Edit: ich habe eben per ICQ von meinem (noch :D) netten Tutor die Lösung bekommen:



der Inhalt der Klammer ist gleich Wurzel(i)

(darauf wäre ich auch nie im Leben gekommen >.< .... da fängt das Studium schon mal toll an.... :O)
 
Jetzt hab ich nachgeschaut
Gibts da evtl. sogar zwei Lösungen 1-i und i-1 ?
mprender.php


Weil:
mprender.php

Über den Quotientenvergleich:
mprender.php

ergeben sich obige Lösungen (a=1 ^ b=-1 oder umgekehrt).

Oder lieg ich da komplett falsch?
 
Ja es gibt 2 Lösungen.

Ursprünglich hieß die Aufgabe:

z²+6z+9+2i = 0

Eigentlich ganz simpel, aber man darf bei unseren Profs keine technischen Hilfsmittel benutzen =(

Daher kam ich am Ende auf:

z = +- Wurzel(-2*i) - 3

Superrechner https://www.wolframalpha.com/ zeigt zwar die Ergebnisse, aber leider nicht den Rechenweg. Aber das hat sich jetzt ja erledigt :)

Darf ich aber fragen, warum du a + bi eingefügt hast? Die Formel ist mir auch öfters überm Weg gelaufen, hat mir aber nie wirklich geholfen.
Deshalb habe ich bei der obigen Aufgabe lieber in (z+3)²+2i = 0 umgewandelt als es in z= a+bi -Form zu rechnen :-S


Edit:

durch das 1-i und i-1 ergeben sich bei mir nun 4 Lösungen :-S
2 davon sind offentsichtlich falsch. hmmm
danke, ohne diesen Post wäre mir das nie aufgefallen

Edit2:

joa, also doch nicht. Es ergeben sich doch nur die 2 selben Lösungen.
Es macht also keinen Unterschied, wenn man es 1-i oder i-1 betrachtet. Kurios o_O
 
Zuletzt bearbeitet:
(z+3)²+2i = 0
(z+3)² = -2i

Wenn du dann die Wurzel nimmst, kommt ein Betrag heraus!

|z+3| = -2i

Und das ergibt dann +/- (z+3) = Wurzel (-2i). Daher sind beide Ergebnisse auch richtig. Zumal sie im quadratischen eh äquivalent sind: (i-1)² = (-1)²*(1-i)²=(1-i)² Und durch das +/- ergeben sich damit auch nur 2 statt 4 Lösungen der Gleichung.

Auch die Primfaktorzerlegung wäre eine praktikable Möglichkeit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=z²+6z+9+2i+=+0
 
D_Blade schrieb:
Darf ich aber fragen, warum du a + bi eingefügt hast? Die Formel ist mir auch öfters überm Weg gelaufen, hat mir aber nie wirklich geholfen.
Zum Vergrößern anklicken....
Die Wurzel aus einer komplexen Zahl gibt wieder eine komplexe Zahl. Allgemein also a+bi
Mit dem Ansatz kann man ganz allgemein die Wurzel aus einer komplexen Zahl berechnen:
Wurzel(x+yi) = a+bi
...
x=(a^2-b^2) ^ y= 2ab
Daraus lässt sich a und b bestimmen und man hat die Lösung.
 
ice-breaker schrieb:
ist nicht so schlimm, es wird dir im Studium noch öfter so gehen, dass du auf manche Beweise nicht selbst gekommen wärst ;)
Zum Vergrößern anklicken....

das geht mir eigentlich bei jeden Beweis so, ausser bei den paarmal vollständige Induktion im ersten Semester :ugly:

ob man nun selbst drauf kommt oder nicht ist auch egal, am Ende musste nur die Sachen drauf haben die es auch erwartungsgemäß in die Klausur schaffen :mrgreen:
 
Richtig. Da wir ja keine Diplomer mehr werden, brauchen wir das alles nicht mehr zu verstehen, sondern müssen nur noch auswendig lernen :)

Bei mir wurde tatsächlich eine Frage gestellt, in der ein Satz niedergeschrieben war und wir sollten den richtigen Mathematiker zuordnen..... Hallo?!


Aber keine Angst, du wirst vieles nicht beim ersten Mal verstehen. Aber lass dich nicht abhängen, also immer brav nacharbeiten. Sonst hast du verloren ...
 
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