Mathe Stetigkeit, Differenzierbarkeit...

[HighClixx]

Hey,
ich steh gerade ein bisschen auf dem Schlauch. Wir schreiben morgen eine Klausur zur Kurvendiskussion und eigentlich versteh ich das alles auch.

Stetig ist eine Funktion an der Stelle x0, wenn f(x0) = linksseitiger Grenzwert von f(x0) = rechtsseitiger Grenzwert von f(x0).

Differenzierbar ist eine Funktion an der Stelle x0, wenn f'(x0) = linksseitiger Grenzwert von f'(x0) = rechtsseitiger Grenzwert von f'(x0).

Aber was fang' ich mit der gewonnen Information denn dann an? Was bedeutet das für die weitere Untersuchung (bspws. auf Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen...) wenn eine Funktion eine Stelle hat die nicht differenzierbar bzw. stetig ist? Müssen diese Stellen gesondert untersucht werden? Oder von der Untersuchung ausgeschlossen werden?

Liebe Grüße

 

[ice-breaker]

Also wenn eine Funktion an einer Stelle unstetig ist, heisst das, dass du die Funktion nicht zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen:
https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Unstetigkeit.png&filetimestamp=20050208154852

über die Differenzierbarkeit äußere ich mich lieber mal nicht, da erinnere ich mich mehr gut genug und möchte eine Falschaussage vermeiden.

 

[sklemm]

Bei der Stetigkeit kann ich nur zustimmen, eine Stetige Funktion hat einfach keine Sprungstellen, das Springen wäre dann das absetzen des Stiftes in Ice-breakers Beispiel.

Differenzierbar heißt, dass die Funktion linear approximierbar ist, wenn man wieder bildlich sprechen würde, hat sie keine "Ecken". Oder: du kannst sie zeichnen ohne mit dem Stift stehen bleiben zu müssen (das hinkt aber ein bisschen *g*).

Man sollte noch beachten, dass man Stetigkeit und auch Differenzierbarkeit i.A. erst einmal nur in einzelnen Punkten bestimmt und dann beweist, dass das für den gesamten Definitionsbereich der Funktion gilt.

Über welche Klassenstufe sprechen wir denn hier? In der Oberstufe könnte man sich mal das Epsilon-Delta-Kriterium anschauen, ein überraschend einleuchtendes Mittel um Stetigkeit von Funktionen zu beweisen, was man nicht über alle Hilfsmittel der Analysis sagen kann :-D

HTH

Achso und aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit aber nicht umgekehrt.

 

[HighClixx]

Klassenstufe 11. Der Nachweise der Stetigkeit beziehungsweise Differenzierbarkeit ist ja nicht mein Problem. Was mich beschäftigt ist nur der Grund, wozu ich denn die Stetigkeit / Differenzierbarkeit in diesen Punkten nachweise? Ich meine, wenn die Funktion zum Beispiel für x = 2 nicht differenzierbar ist, also keine eindeutige Ableitung hat, kann man in diesem Punkt ja zum Beispiel nicht das Kriterium f'(x) = 0 und f''(x) != 0 für ein Extremum anwenden. Bedeutet das, dass ich bei einer Funktionsuntersuchung nicht-differenzierbare Stellen gesondert auf Extrema untersuchen muss? Oder kann eine Funktion an einer nicht differenzierbaren Stelle kein Extremum haben?

 

[MrToiz]

Klar, schau dir doch nur mal den Graphen von 1/x an...wo hat der denn sein Minimum, wo sein Maximum?

 

[sklemm]

Hmm, also 1/x hat in der Tat kein Minimum oder Maximum, also ein schlechtes Gegenbeispiel.

Man könnte sich die Funktion f(x) = |x| anschauen, die hat ein globales Minimum in x=0, ist dort aber nicht differenzierbar (jedoch immerhin stetig).

Mit deiner Vermutung liegst du also richtig, ist eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar musst du gesondert auf Minima und Maxima prüfen.

HTH

 

[Turuf]

Stetigkeit kann auch wichtig sein, wenn es darum geht eine Funktion zu beschreiben, die halt an einer bestimmen Stelle nicht stetig ist. Denn an den Stellen, wo eine Funktion nicht mehr stetig ist, muss man die Funktion "teilen" und "beide Seiten" gesondert anschauen.
Wenn nun beispielsweise eine Funktion an der Stelle x=2 nicht stetig ist, so musst du die Funktion in die Bereiche von ]- Unendlich ; 2[ und in ]2 ; + Unendlich[ trennen, um sie richtig zu behandeln.

Bei nicht stetigen Funktionen kann sich somit beispielsweise die Wertemenge verändern und man muss es daher gesondert überprüfen.

 

[theHacker]

Wenn nun beispielsweise eine Funktion an der Stelle x=2 nicht stetig ist, so musst du die Funktion in die Bereiche von ]- Unendlich ; 2[ und in ]2 ; + Unendlich[ trennen, um sie richtig zu behandeln.

Es gibt auch den Aufgabentyp, dass du gefragt wirst, ob die Funktion an der Unstetigkeitsstelle stetig fortsetzbar is.
In diesem Fall prüfst du auch wieder, ob links- und rechtsseitiger Limes übereinstimmen. Tun sie es, kannst du die Funktion mit diesem Funktionswert stetig fortsetzen. Infos und Beispiele hier.