[Statistik] Exponentieller Wachstum

[cygnus]

Aloha,

ich steck momentan bei folgender Aufgabe:

Das Wachstum einer Bakterienkultur wird nach jeweils einer Stunde gemessen und ergibt die folgenden Werte:
1,2,3,5,7,11,16,26,36,56,80,122

Berechnen Sie die Trendgerade unter der Annahme exponentiellen Wachstums

Die ganz normale Regressionsgerade zu berechnen, ist kein Problem.
Sie lautet -0,1959 + 0,42207x

Wie bekomme ich jetzt jedoch die Exponentialfunktion heraus?
Weiß jemand vlt. die passende Formel?

 

[DaPhreak]

Um auf exponentielles Wachstum zu prüfen stellt man die Wertefolge mit logarithmierter y-Achse dar. Wenn sich dann eine Gerade ergibt, dann darf man von exponentiellem Wachstum sprechen.

Für Deine Punkte scheint das etwa hinzuhauen:



Ich nehme mal an, dass nun die Parameter für diese Gerade gesucht sind. Was Du also machen musst, ist, deine Punkte zu logarithmieren und dann eine lineare Regression rechnen.

Ich nenne mal y die Originalpunkte und z = log die logarithmierten. Dann findest Du eine Geradengleichung in z àla z = a*x+b. Rücksubstitution zeigt Dir, dass damit das Modell was Du findest eigentlich ist:

a*x+b = log
y = e[sup]ax+b[/sup] = e[sup]b[/sup]*e[sup]a*x[/sup] = C*e[sup]a*x[/sup], wobei C = e[sup]b[/sup] ist.


Ich hab mal exemplarisch den natürlichen Logarithmus genommen, natürlich geht auch jeder andere, beim 10-er Logarithmus wäre es dann eben 10[sup]b[/sup]*10[sup]a*x[/sup].


HTH, wenn nich einfach nachfragen.

 

[cygnus]

Logaritmiert hab ich ja bereits.
Hab dann mit mithilfe dieser Formeln

die beiden Regressionsparameter ermittelt
(a = -0,1959; b = 0,42207)

Kann ich mit denen irgendwie die Exponentialfunktion in der Form c^(e*d) errechnen?

Ich weiß nämlich nicht so ganz was du mit lineare Regression meinst - bin in dem Thema eigentlich überhaupt nicht bewandert

 

[DaPhreak]

Ich weiß nämlich nicht so ganz was du mit lineare Regression meinst - bin in dem Thema eigentlich überhaupt nicht bewandert

Nichts anderes als eine Ausgleichsgerade zu berechnen, genau das was Du gemacht hast.

Den Zusammenhang hatte ich Dir ja eigentlich schon mal angegeben:

Wenn log ein lineares Modell erfüllt, also

log = b*x+a

(ich nehme mal an b ist bei Dir der Anstieg, weil a ist ja negativ und das kann nicht sein), dann kannst Du daraus das Modell für y gewinnen, indem Du einfach umstellst.

Du bekommst

y = C * e[sup]D*x[/sup]

wobei wie oben hergeleitet der Zusammenhang ist D = b (Anstieg) und C = e[sup]a[/sup].

Jetzt wieder angenommen, dass Du natürlichen Logarithmus genommen hast.

 

[cygnus]

Ahh, ist ja eiegntlich ganz easy. Stand vorhin wohl bisschen auffem Schlauch

In dem Fall also f = 0,82207 * e ^ (0,42207x)

Ich dank dir, du hast meinen Abend gerettet. Das hätt mich heut wieder nicht schlafen gelassen