(S) Mathehilfe - Tangente an Funktion y=0,2x²+1 legen, Punkt gegeben

cashgnm

cashgnm

Battle for the sun
ID: 88282
L
29 April 2006
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108
An den Graphen der Funktion f(x)=0,2x²+1 ist im Punkt P(5/yP) die Tangente t zu legen.

Jaa, ist bestimmt eine sehr einfache Frage, aber ich weiß nicht, wie ich die Tangente hier finde.

P dürfte (5/6) sein, da für x=5 in die Funktion eingesetzt, y=6 ergibt.

aber wie finde ich den Richtungsvektor der Tangente t?


Danke schonmal :)











--
(1.Bsp, bereits gelöst, Danke an DaPhreak)
Gegeben sind 2 Ebenen: E1[A(1/-2/0),B(3/3/6),C(-1/0/1) und E2:X=(1/-3/-2)+s*(2/-5/3)+t*(1/1/-2).

a) Ermittle die Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt M(2/1/2), die die Schnittgerade s der beiden gegebenen Ebenen als Tangente hat.




Wäre nun so vorgegangen:

1) Normalform der beiden Ebenen suchen
2) Ebenen schneiden => Gerade bekommen
3) ?? eventuell Ebenenpunkt suchen und mit M einen Vektor bilden? (aber welchen Punkt?)


Jedenfalls so weit bin ich bis jetzt (weiß allerdings nicht, ob es stimmt)
für E1:
AB=(2/5/6)
AC=(-2/2/1) (bei beiden Vektorzeichen drüber)

Normalvektor von E1 => Kreuzprodukt von AB und AC
=> (-7/-14/14)=7*(-1/-2/2)

für E2:
Kreuzprodukt von (2/-5/3) und (1/1/-2) => (7/7/7)=7*(1/1/1)


die beiden Ebenen aufstellen:
E1:-x-2y+2z=3
E2=x+y+z=-4

die beiden Ebenen schneiden (vorher für z=t setzen)

=> y=3t+1
=> x=-5-4t

Geradenformel: (-5-4t/3t+1/t) => (-5/1/0)+t*(-4/3/1)

Und nun?



Danke schon mal. (auch an Totte fürs verschieben.)
 
Zuletzt bearbeitet:
Den Mittelpunkt der Kugel kennst Du ja, die Frage ist nur der Radius. Den musst Du jetzt so wählen, dass die Kugel die Gerade genau in einem Punkt berührt. Du musst also quasi den Abstand des gegebenen Kugelmittelpunktes zu der Gerade bestimmen.

Ich weiß nicht ob ihr da ein bestimmtes Verfahren gelernt habe wie man das macht. Ich persönlich würde von dem gegebenen Kugelmittelpunkt das Lot auf die Gerade fällen.

Dazu würde ich den Vektor von den Geradenpunkten zum Kugelmittelpunkt aufstellen (hängt dann von t ab) und dann das t so bestimmen, dass dieser Vektor senkrecht auf der Gerade steht (dann hast Du das Lot).

Also etwa so:
g(t) = (-5/1/0)+t*(-4/3/1)
M = (2/1/2)

Vektor zwischen M und g(t)
v(t) = M - g(t)
= (2,1,2) - [ (-5,1,0) + t*(-4,3,1) ]
= (7,0,2) - t*(-4,3,1).

Jetzt soll v(t) senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden sein, also das Skalarprodukt = 0 (ich schreib das Skalarprodukt zwischen a und b mal als a.b):
v(t) . (-4,3,1) = 0
[ (7,0,2) - t*(-4,3,1) ] . (-4,3,1) = 0
-26 - t*26 = 0
t = -1

Also ist der Punkt an dem sich Kugel und Gerade berühren:
g(-1) = (-5/1/0)+t*(-4/3/1) = (-1,-2,-1)

Damit ist der Radius der Kugel gleich der Länge des Vektors zwischen g(-1) und M, also
|(3,3,3)| = Wurzel(9+9+9) = 3*Wurzel(3)

Damit hast Du Mittelpunkt und Radius der Kugel und kannst die Kugelgleichung aufstellen.


HTH,
Flo.
 
Danke, das hat mir sehr geholfen. Hat zwar auch relativ lange gedauert, bis ich alle deine Schritte kapiert habe, aber schlussendlich habe ich es verstanden.
Vielen Dank dafür :)
 
Richtungsvektor? Brauchste nicht weil das in meinen Augen keine analytische Geometrie ist sondern Infinitesimalrechnung oder wie das auch nochmal heißt. Richtungsvektor hat wieder was mit Vektoren zu tun.

Leite doch die Funktion f(x) mal ab und setz deinen x-Wert ein. Die Ableitungsfunktion f'(x) gibt immer die Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle an. Damit hast du einen Punkt und eine Steigung und sollst daraus eine Gerade machen. Sollte dann wieder weiter machbar sein oder? :)

mfg
schnefels
 
y = f ' (x°) * (x - x°) + f ( x° )


x-wert des punktes für die x° einsetzen und dann eben ausrechnen.

f = die gegebene funktion^^
f ' = ableitung der gegebenen funktion
 
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