Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion

[CheekyDylX]

N'abend!
Also, ich habe folgendes Problem!
Gegeben ist die Funktion:

x^5+3x^4-13x^3-39x^2+36x+108

sowie die Nullstelle x=-3
Habe dann als erstes eine Polynomdivision gemacht, bei der

x^4-13x^2+36

rausgekommen ist.
Jetzt habe ich überlegt, ob ich das durch das Substitutionsverfahren und dann mit Hilfe der PQ-Formel lösen kann.
Komme da aber nicht wirklich weiter. Hätte dann

z^2-13z+36 (????)

Brauche Hilfe *schnief*
Danke euch jetzt schonmal...

 

[TCS]

...

Also wenn die Substitution stimmt und so
dann ist 4 noch ne Nullstelle
da 16 - 13x4 +36 = 0 ist...

 

[CheekyDylX]

Also ich hab das mal im Programm "Matheass" eingegeben und demnach müssten bei der Funktion die Nullstellen
x1=3
x2=-3
x3=2
x4=-2
rauskommen!!! Aber nur das Ergebnis hilft mir ja leider nicht weiter :-(
Und wie ich darauf komme bekomme ich zum erbrechen nicht raus *würg*

 

[TCS]

bist du dir da sicher?
Ich habs mal mit 3 im Taschenrechner ausgerechnet und komme auf 77 und nicht auf 0
Edit: bei -3 kommt auch 77 raus?!

Ich glaub ich geh schlafen, sonst verwirr ich dich noch mehr...
Sry!

 

[CheekyDylX]

Also ich hab es auch in den Taschenrechner eingetippt ( halt in die Ausgangsfunktion eingesetzt ) und es kommt 0 raus *freude schöner Götterfunken*
Kann aber auch sein, dass die Substitution nicht korrekt ist :-(
Hab die 36 ja einfach so gelassen und glaube selbst nicht, dass das korrekt ist!

 

[TCS]

Geändert von CheekyDylX (06.11.2008 um 01:52:07 Uhr).

hehe
Jetzt weiss ich auch wo meine 77 Differenz herkommen

 

[CheekyDylX]

Mist, dachte das merkst du nicht...
Schlauer Tiger, du^^
Und? Hilft Dir (bzw. dann mir *lach*) das weiter?
Bitteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

 

[Abel]

Lösen kannst du die numerisch oder einfach durch Raten. Da du die Nullstellen kennst, rate einfach und mach Polydivision oder das Hornerschema.
Also die Nullstellen sind ja -2, 2, 3, -3 (-3 ist eine doppelte Nullstelle!).
Also (x-(-2))(x-2)(x-3)(x-(-3))^2=x^5+3x^4-13x^3-39x^2+36x+108

Alle Angaben ohne Gewähr.^^

 

[marac]

Ich weiß nicht so recht, wo dein Problem ist. Die Substitution ist korrekt, und dieses Polynom lässt sich doch wunderbar per PQ- oder wahlweise ABC-Formel lösen. Damit bekommst du zwei Werte für z und ermittelst dir daraus, wie denn dann die x aussehen müssen, damit x² = z ist...
Raten ist hier überhaupt nicht nötig...

 

[DaPhreak]

Kann aber auch sein, dass die Substitution nicht korrekt ist :-(
Hab die 36 ja einfach so gelassen und glaube selbst nicht, dass das korrekt ist!

Warum sollte das falsch sein?

Du hast x[sup]4[/sup]-13x[sup]2[/sup]+36. Und nun definierst Du Dir einfach eine neue Variable z als z=x[sup]2[/sup]. Damit kannst Du statt x[sup]2[/sup] nun einfach z schreiben, denn so hast Du es ja definiert. Und da z[sup]2[/sup] = (x[sup]2[/sup])[sup]2[/sup] = x[sup]4[/sup] ist kannst Du statt x[sup]4[/sup] nun z[sup]2[/sup] schreiben.

Deshalb ist x[sup]4[/sup]-13x[sup]2[/sup]+36 das selbe wie z[sup]2[/sup]-13z+36. Das ist nicht wirklich eine Umformung, einfach eine andere Weise, den gleichen Sachverhalt aufzuschreiben.

Nützlich ist es deshalb, weil die Gleichung in z sich leicht lösen lässt und wenn Du einmal z hast findest Du über z=x[sup]2[/sup] auch schnell die zugehörigen x-Werte. Da muss man halt nur die Vorzeichen beachten.