[Matheproblem] Determinanten/Matrizen/Lin. Gleichungssysteme

[imhotep]

Ich steh anscheinend grad völlig auf dem Schlauch:

"A x = b sei eine Matrix-Vektor-Gleichung mit quadratischer Matrix A, die in ein lineares Gleichungssystem überführt werden kann. Welche Rückschlüsse kann man aus det [A] = 0 für die Lösbarkeit des Gleichungssystems ziehen? Begründe deine Antwort."

Als Tip auf Nachfrage habe ich erhalten:

"Mal überlegen welche Lösungsmöglichkeiten /-unmöglichkeiten es bei Gleichungssystemen geben kann und wie sich dies auf die Matrix und dann auf die Determinante auswirkt"

Ich hab mir bisher folgendes überlegt:

Bei linearen Gleichungssystemen treten maximal drei Fälle auf:

1.Das Gleichungssystem hat keine Lösung (nicht lösbar)
2.Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung (eindeutig lösbar)
3.Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen (mehrdeutig lösbar)

det [A] = 0 weist außerdem darauf hin, dass die Spalten des Vektors linear voneinander abhängig sind und keine Basis im R^n bilden.


Den ersten Teil des Tips hab ich damit wohl hoffentlich erledigt. Aber wie sich dies auf die Matrix und dann auf die Determinante auswirkt, ist mir völlig unklar.

Kann sein, daß ich da schon zulange gegrübelt habe.

Hat wer bitte nen Lösungsansatz parat?

 

[DaPhreak]

(Um skalare von Vektoren/Matrizen zu unterscheiden, schreib ich Matrizen und Vektoren mal fett, Skalare nicht fett...)



det(A) = 0 bedeutet, dass A nicht invertierbar ist.

Vereinfacht gesagt, kann man A*x=b nicht so einfach nach b "lösen", weil man A nicht "auf die andere Seite bringen" kann.

Mathematischer gesagt bedeutet det(A)=0, dass A einen nichttrivialen Nullraum hat, es also mindestens ein vom Nullvektor verschiedenes q gibt, so dass A*q=0 ist. Die Gleichung kann ich mit einer beliebigen Zahl t multiplizieren und bekomme t*A*q=A*(t*q)=0, also ist auch t*q für beliebige t im Nullraum.

Zurück zum Gleichungssystem:
Angenommen es gibt ein x[sub]0[/sub], so dass A*x[sub]0[/sub]=b ist. Dann ist auch x[sub]0[/sub]+t*q eine Lösung des Gleichungssystems, was man sieht, wenn man es einsetzt und ausmultipliziert. => unendlich viele Lösungen, da für beliebige t.

Es muss aber so ein x[sub]0[/sub] nicht geben. Das gibt es nur, wenn b im Spaltenraum der Matrix ist. Denn man kann A*q als Linearkombination der Spalten von A verstehen. Man versucht also, b als Linearkombination der Spalten von A auszudrücken. Das klappt natürlich nicht, wenn b gar nicht in dem Raum liegt, der durch die Spalten von A aufgespannt wird (und der ist nur ein Unterraum des R[sup]n[/sup] wenn det(A) = 0 ist). In diesem Fall => keine Lösung.

 

[imhotep]

hm, ich glaub, es klingelt langsam^^
klingt logisch.

ich danke dir...

greetz
imhotep