Mathe :(

[chickie]

Hallo,
bin neu hier und hab sofort schon eine Frage...kann mir jemand bei dieser aufgabe helfen?
Eine rechteckige Wiese mit einem Flächeninhalt von 5360 m² ist mit 294 m zaun eingezäunt. Berechne Länge und Breite der Wiese.
Wäre super nett von euch.

 

[Liquid0815]

ich kapier die Aufgabe jetzt nicht ganz... ich habe mal die 249m genommen und einfach mal durch 6 geteilt = 49m

jetzt könnte man sagen, die wiese ist 49m * 98m (so würde zumindest der Zaun stimmen) aber dabei kommt leider nicht die Quadratmeterzahl raus... ist die Wiese nicht komplett umzäunt?

 

[joschilein]

2a + 2b = 294
a * b = 5360

2a = 294-2b
a = 147-b

(147-b)*b = 5360
b[sup]2[/sup] - 147b + 5360 = 0
b[sub]1/2[/sub] = 147/2 +- W( (147/2)[sup]2[/sup] - 5360)
b[sub]1/2[/sub] = 73,5 +- W(5402,25 - 5360)
b[sub]1/2[/sub] = 73,5 +- W(42,25)
b[sub]1/2[/sub] = 73,5 +- 6,5
b[sub]1[/sub] = 80 a[sub]1[/sub] = 67
b[sub]2[/sub] = 67 a[sub]2[/sub] = 80

2*67 + 2*80 = 294
67 * 80 = 5.360

 

[DaPhreak]

Eine rechteckige Wiese mit einem Flächeninhalt von 5360 m² ist mit 294 m zaun eingezäunt. Berechne Länge und Breite der Wiese.
Wäre super nett von euch.

Oder nochmal in Worten: Du hast ein Rechteck von dem Du Fläche und Umfang (nichts anderes ist die Länge des Zauns). Wissen möchtest Du die Seiten. Da gegenüberliegende Seiten gleich sind brauchst Du nur zwei der vier Seiten zu berechnen (a und b).

Du hast also zwei Unbekannte, über die Du zwei Dinge weißt (Summe und Produkt).

Alles was Du machen musst, ist die Formeln für Umfang und Fläche eines Rechtecks herzunehmen und die nach den beiden Seiten umzustellen, wie joschilein ja schon demonstriert hat.

 

[Liquid0815]

Oh man, ich glaub langsam echt, mein Grundschulwissen geht flöten.
Ich dachte immer, wenn der Umfang gleich bleibt, bleibt auch die Fläche gleich, egal wie man es aufteilt, aber da wurde ich wohl eines besseren belehrt...

 

[DaPhreak]

Ich dachte immer, wenn der Umfang gleich bleibt, bleibt auch die Fläche gleich, egal wie man es aufteilt, aber da wurde ich wohl eines besseren belehrt...

(1) Von allen Rechtecken mit dem Umfang U ist Quadrat dasjenige mit dem größten Flächeninhalt.
(2) Von allen Rechtecken mit der Fläche A ist Quadrat dasjenige mit dem kleinsten Umfang.

Der Beweis von (1) und (2) bleibt dem geneigten Leser als schöne Übung zur Extremwertrechnung selbst überlassen.

 

[joschilein]

Etwas Vorstellungskraft sollte dabei eigentlich reichen. Man mache eine Seite (a) 1m lang, wie lang müsste dann die andere (b) sein, damit es den gleichen Flächeninhalt ergibt? Wie groß ist dann der Umfang / wie lang der Zaun? Wie sähe es wohl aus, wenn man a noch viel kleiner macht, nahe 0?

 

[tdnpf]

(1) Von allen Rechtecken mit dem Umfang U ist Quadrat dasjenige mit dem größten Flächeninhalt.
(2) Von allen Rechtecken mit der Fläche A ist Quadrat dasjenige mit dem kleinsten Umfang.

Der Beweis von (1) und (2) bleibt dem geneigten Leser als schöne Übung zur Extremwertrechnung selbst überlassen.

trivial
1)
U=2*a
A_Quadrat= a^2
A_Rechteck=(a-l)(a+l)=a^2-l^2

 

[DaPhreak]

1)
U=2*a
A_Quadrat= a^2
A_Rechteck=(a-l)(a+l)=a^2-l^2

Bravo, cleverer Ansatz. Da kann man sich das ableiten doch glatt sparen. Ist allerdings nicht so einfach bei 2) etwas ähnliches zu finden.

 

[joschilein]

Man könnte ja sogar ne kleine Kurvendiskussion daraus machen.

A = a * b
= a * ( (U-2a) / 2)
A = (-2a² + Ua) / 2

Definitionsbereich: 0 bis U/2. Größer geht nicht, da die längste Seite mindestens zweimal in U passen muss.
Wertebereich: 0 bis t.b.d.

Nullstellen:
0 = (-2a² + Ua) / 2
2a² = Ua | :a => 1. NS bei a=0
2a = U
a = U/2

NS[sub]1[/sub] = (0|0)
NS[sub]2[/sub] = (U/2|0)

Extremwerte:
A' = ((-4a+U) * 2) / 4 = (-4a + U) / 2
0 = (-4a + U) / 2
4a = U
a = U/4
A(U/4) = (-2(U/4)² + U(U/4)) / 2
= (-2U²/16 + U²/4) / 2
= (-U²/8 + 2U²/ / 2
= U²/16
HP[sub]1[/sub] (U/4 | U²/16)

Wendepunkte:
A'' = (-4 * 2) / 4 = -2

Extremwerte:
Die Ränder des Definitionsbereiches sind bereits durch die Nullstellen definiert.