Mathe Zufallsgrößen

[Torti0889]

Hallo Leut´s,
bräucht mal wieder Hilfe bei 3Matheaufgaben.

1. Ein Würfel wird viermal hintereinander geworfen. X sei die maximale Anzahl aufeinanderfolgene Sechsen in dieser Wurfserie. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

Rechne ich das 6*5*4*3= 360
oder was kommt da raus?

2. Ein Tierliebhaber hat für seine beiden Prachtstücke, einen Kääfer und eine Ente, eine Diebstahlversicherung mit einer Laufzeit von einem Jahr abgeschlossen. Die Versicherungssummen betragen 40000DM für den Käfer und 30000DM für die ENte. Die Versicherungsgeselllschaft geht von der Einschätzung aus, das die Schadenfälle im versichten Zeitraum mit Wahrscheinlichkeiten von 1% (Käfer) und 3% (Ente)entreten.
Welcher Gesamtschaden kann mit welcher Wahrscheinlichkeit auftreten?

Hier habe ich nicht mal ein Plan was ich überhaupt rechnen soll *hilfe*

3. Der Benutzer einer bestimmten Computersystems muss im laufe einen Quartals damit rechnen, das ein Computervirus M sein System mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%befällt, während die Virustypen S und A mit 35% bzw. mit 18% Wahrscheinlichkeit auftreten. Der angerichtete Schaden betragen 6000DM durch M, 2500DM durch S und 1800 DM durch A.
Stellen Sie die Verteilung der Zufallsgrößen X= Schaden pro Quartal auf.

Hilfe- ist genauso doof, wie muss ich den das rechnen?
Bitte, kann mir jemand helfen...muss auch diesmal wieder die Aufgaben abgeben

 

[DaPhreak]

Okay, mal ein paar Erläuterungen, absichtlich nicht komplette Lösungen, sollst ja auch noch was davon haben. *g*

1. Ein Würfel wird viermal hintereinander geworfen. X sei die maximale Anzahl aufeinanderfolgene Sechsen in dieser Wurfserie. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

Okay, die ist etwas trickreich und bisschen blöd formuliert, aber ich denk man bekommt es hin.

Ich versteh es so: Es wird ein Experiment betrachtet, bei dem ein Würfel vier mal hintereinander geworfen wird. Das Experiment wird mehrmals ausgeführt und ist jedes mal neu zufällig.

Kann also 1,5,3,5 rauskommen oder 4,6,3,2 oder 2,5,3,3 usw. Bis hierhin hoffentlich noch klar.

Nun wird gezählt, wieviele aufeinanderfolgende Sechsen jeweils vorkamen.

Also, wenn z.B. 2,3,5,3 gewürfelt wurde, offensichtlich 0.
Wenn z.B. 4,3,6,1 gewürfelt wurde nur eine.
Wenn 6,3,4,6 gewürfelt wurde auch nur eine, denn die beiden sechsen kamen nicht hintereinander.
Zwei gäbe es bei 6,6,1,3 oder aber auch 6,4,6,6.
Schließlich können drei vorkommen: 6,6,6,1 oder 6,4,6,6
Möglich wären aber auch vier: 6,6,6,6.

Das heißt, Du hast eine Zufallsvariable "Aufeinanderfolgende Sechsen", die die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen kann.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass diese Werte auftreten.

Du musst Dir also überlegen: Wie wahrscheinlich ist es, dass gar keine Sechsen vorkommen? Dass nur genau eine Sechs vorkommt? Dass zwei und nicht mehr aufeinanderfolgende Sechsen vorkommen? Usw.

2. Ein Tierliebhaber hat für seine beiden Prachtstücke, einen Kääfer und eine Ente, eine Diebstahlversicherung mit einer Laufzeit von einem Jahr abgeschlossen. Die Versicherungssummen betragen 40000DM für den Käfer und 30000DM für die ENte. Die Versicherungsgeselllschaft geht von der Einschätzung aus, das die Schadenfälle im versichten Zeitraum mit Wahrscheinlichkeiten von 1% (Käfer) und 3% (Ente)entreten.
Welcher Gesamtschaden kann mit welcher Wahrscheinlichkeit auftreten?

Selbes Prinzip wie oben: Du hast eine neuen Zufallsvariable "Gesamtschaden". Welche Werte kann die nun annehmen?
- Nun, es könnte gar kein Schaden auftreten, dann ist der Gesamtschaden null. Das bedeutet: Ente nicht kaputt und Käfer nicht kaputt.
- Es könnte nur die Ente kaputt gehen, Schaden 30000 DM. Also Ente kaputt und Käfer nicht kaputt.
- Oder nur der Käfer kaputt gehen (wie oben, Schaden 40000 DM).
- Oder eben beide, Schaden 70000 DM.

Gesucht sind also die möglichen Werte (okay, die hab ich Dir jetzt verraten) und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

3. Der Benutzer einer bestimmten Computersystems muss im laufe einen Quartals damit rechnen, das ein Computervirus M sein System mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%befällt, während die Virustypen S und A mit 35% bzw. mit 18% Wahrscheinlichkeit auftreten. Der angerichtete Schaden betragen 6000DM durch M, 2500DM durch S und 1800 DM durch A.
Stellen Sie die Verteilung der Zufallsgrößen X= Schaden pro Quartal auf.

Sehr ähnlich wie die Aufgabe davor. Nun gibt es aber drei mögliche Schäden. Und entsprechend können alle Kombinationen auftreten:
- keiner (0 Schaden)
- nur S/A/M
- S und A oder S und M oder A und M
- alle drei.

Und wieder: Die Wahrscheinlichkeiten bitte!


So, hoffe das hilft Dir jetzt weiter. Probier mal die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen (fang am besten bei der zweiten Aufgabe an, die ist am leichtesten) und wenn Du noch Fragen hast, dann her damit.

 

[Torti0889]

hmmm ok, verstanden hab ich das! aber wie groß sind den nun genau die Wahrscheinlichkeiten?weil man kann es ja so oder so betrachten u da kommen ja nicht die gleichen Lösungen raus
*HILFE*

 

[DaPhreak]

hmmm ok, verstanden hab ich das! aber wie groß sind den nun genau die Wahrscheinlichkeiten?weil man kann es ja so oder so betrachten u da kommen ja nicht die gleichen Lösungen raus
*HILFE*

Na ich geb Dir mal noch nen zweiten Denkanstoß für die zweite Aufgabe.

Die Versicherungsgeselllschaft geht von der Einschätzung aus, das die Schadenfälle im versichten Zeitraum mit Wahrscheinlichkeiten von 1% (Käfer) und 3% (Ente)entreten.

Ich benutz mal die Kurzschreibweise P(Ereignis X) für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis X eintritt.

Was Dir gegeben ist:
P(Ente kaputt) = 3%
P(Käfer kaputt) = 1%

Was Du wissen willst:
P(Ente kaputt und Käfer kaputt).

Was Dir in der Aufgabe nicht gesagt worden ist, ist, dass die Ereignisse unabhängig sind. Ich nehme an, da ist der Gemeinsinn gefragt: Dass eins der beiden kaputt geht, hat ja mit dem anderen nichts zu tun.

Wenn nun zwei Ereignisse A und B unabhängig sind, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit dass beide eintreten:

P(A und B) = P(A) * P(B)

Du kannst die Einzelwahrscheinlichkeiten also multiplizieren.

Das heißt: P(Ente kaputt und Käfer kaputt) = 3% * 1% = 0.03*0.01 = 0.0003.


Der "worst case" (beide kaputt) tritt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.03% ein.

Was ist nun mit den anderen Fällen? Dazu musst Du die Gegenereignisse betrachten: Wenn A und B unabhängig sind gilt das auch für "Nicht-A" bzw. "Nicht-B". Also:

P(A und B) = P(A) * P(B)
P(Nicht-A und B) = P(Nicht-A) * P(B)
P(A und Nicht-B) = P(A) * P(Nicht-B)
P(Nicht-A und Nicht-B) = P(Nicht-A) * P(Nicht-B)

Naja und natürlich müssen die Wahrscheinlichkeit von A und Nicht-A sich zu 1 addieren weil entweder tritt A ein oder nicht.

Am Beispiel: Das Gegenereignis zu Käfer geht kaputt ist Käfer geht nicht kaputt und wenn er mit Wahrscheinlichkeit von 3% kaputt geht, dann bleibt er mit Wahrscheinlichkeit von 97% ganz.

Damit kannst Du jetzt die Wahrscheinlichkeit der fehlenden Ereignisse berechnen:

Käfer geht kaputt und Ente geht nicht kaputt
Käfer geht nicht kaputt und Ente geht kaputt
Käfer geht nicht kaputt und Ente geht nicht kaputt

Und schon hast Du die Verteilung der Zufallsvariablen! Vier Ereignisse, vier Werte, vier Wahrscheinlichkeiten. Mehr ist es nicht.



Weißt Du jetzt was Du machen musst?

 

[Hotwave]

Hallo Leut´s,
bräucht mal wieder Hilfe bei 3Matheaufgaben.

1. Ein Würfel wird viermal hintereinander geworfen. X sei die maximale Anzahl aufeinanderfolgene Sechsen in dieser Wurfserie. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.

Rechne ich das 6*5*4*3= 360
oder was kommt da raus?

**SPOILER** Nur zur Kontrolle gucken
Wahrscheinlichkeit für eine 6 = 1/6
Wahrscheinlichkeit für 2 aufeinanderfolgende 6en = 1/6 * 1/6
...etc.
P(4 aufeinanderfolgende sechsen) = 1/6^4 = 1/1296

3. Der Benutzer einer bestimmten Computersystems muss im laufe einen Quartals damit rechnen, das ein Computervirus M sein System mit einer Wahrscheinlichkeit von 10%befällt, während die Virustypen S und A mit 35% bzw. mit 18% Wahrscheinlichkeit auftreten. Der angerichtete Schaden betragen 6000DM durch M, 2500DM durch S und 1800 DM durch A.
Stellen Sie die Verteilung der Zufallsgrößen X= Schaden pro Quartal auf.

**SPOILER** Nur zur Kontrolle gucken

Einzelne Wahrscheinlichkeiten:
P(Befall durch M) = 10% (Schaden = 6000 DM)
P(Befall durch S) = 35% (Schaden = 2500 DM)
P(Befall durch A) = 18% (Schaden = 1800 DM)

Kombinierte Wahrscheinlichkeiten:
P(Befall durch M & S) = 0,1 * 0,35 = 0,035 = 3,5% (Schaden = 8500 DM)
P(Befall durch M & A) = 0,1 * 0,18 = 0,018 = 1,8% (Schaden = 7800 DM)
P(Befall durch A & S) = 0,18 * 0,35 = 0,063 = 6,3% (Schaden = 4300 DM)
P(Befall durch M, S & A) = 0,1 * 0,35 * 0,18 = 0,0063 = 0,63% (Schaden = 10300 DM)

Wichtig ist, dass die Wahrscheinlichkeiten nicht voneinander abhängig sind, sonst müsste man anders rechnen.
Ich verbürge mich nicht für die Richtigkeit, sollte aber eigentlich stimmen.

Rechnungen sind jetzt nur zur Kontrolle gedacht und auch nur weil DaPhreak schon die mathematischen Hintergründe erläutert hat. Schließlich sollst du was lernen

 

[DaPhreak]

**SPOILER** Nur zur Kontrolle gucken

Wahrscheinlichkeit für eine 6 = 1/6
Wahrscheinlichkeit für 2 aufeinanderfolgende 6en = 1/6 * 1/6
...etc.
P(4 aufeinanderfolgende sechsen) = 1/6^4 = 1/1296


Stimmt nicht...


Wahrscheinlichkeit für 0 aufeinanderfolgende Sechsen: 625/1296
Wahrscheinlichkeit für 1 aufeinanderfolgende Sechsen: 575/1296
Wahrscheinlichkeit für 2 aufeinanderfolgende Sechsen: 85/1296
Wahrscheinlichkeit für 3 aufeinanderfolgende Sechsen: 10/1296
Wahrscheinlichkeit für 4 aufeinanderfolgende Sechsen: 1/1296


... falls ich mich nicht verrechnet habe.

Wie gesagt, die Aufgabe ist bisschen trickreich.

 

[Hotwave]

Doch, du hast dich leider verrechnet.
Die Chance für eine 6 ist 1/6.
Werfe ich 2 mal den Würfel und will 2 6en haben, so muss beim ersten mal eine 6 fallen (1/6) und beim zweiten mal auch (1/6), also 1/6 * 1/6.
Mich interessiert hier schließlich nur das eine Ereignis.

Falls es dir noch nicht genau klar wird kannst du dir auch einen Ereignisbaum zur Hilfe nehmen, an jeden Pfad gehört 1/6, danach bedienen wir uns der Regel der Pfadmultiplikation.
Pfad zum gewünschten Ergebnis (z.B. 4 aufeinanderfolgende 6en) ist klar, 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6.
Um zu dem gewünschten Ereignis (4 aufeinanderfolgende 6en) zu kommen gibt es auch nur diesen einen Pfad und keinen anderen!

Ich bin wahrlich kein Mathegenie, aber das ist richtig

 

[DaPhreak]

Doch, du hast dich leider verrechnet.
Die Chance für eine 6 ist 1/6.
Werfe ich 2 mal den Würfel und will 2 6en haben, so muss beim ersten mal eine 6 fallen (1/6) und beim zweiten mal auch (1/6), also 1/6 * 1/6.
Mich interessiert hier schließlich nur das eine Ereignis.

Ja, aber das war nicht gefragt.

Gefragt war die maximale Anzahl aufeinanderfolgene Sechsen.

Und da ist 1/6 falsch. 1/6 heißt nur ich habe eine Sechs geworfen, nicht aber und danach kam keine sechs. Ich kann nicht nur einen Wurf anschaun. Ist der erste eine sechs kann es 6,1,1,6 sein (okay, eine) aber auch 6,1,6,6 (nicht okay, zwei).

Man muss schon den ganzen Wurf anschaun und überlegen wann eine sechs kommt.

Da gibt es z.B. die Ereignisse:

A: 6,nicht-6,nicht-6,beliebig
B: 6,nicht-6,beliebig,nicht-6
C: nicht-6, 6, nicht-6, beliebig
D: beliebig, nicht-6, 6, nicht-6
E: beliebig, nicht-6, nicht-6, 6
F: nicht-6, beliebig, nicht-6, 6

... bin mir jetzt nicht mal sicher, ob das alle waren, weil ich das anders gemacht habe.

Falls es dir noch nicht genau klar wird kannst du dir auch einen Ereignisbaum zur Hilfe nehmen, an jeden Pfad gehört 1/6, danach bedienen wir uns der Regel der Pfadmultiplikation.
Pfad zum gewünschten Ergebnis (z.B. 4 aufeinanderfolgende 6en) ist klar, 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6.
Um zu dem gewünschten Ereignis (4 aufeinanderfolgende 6en) zu kommen gibt es auch nur diesen einen Pfad und keinen anderen!

Das Argument stimmt und Du wirst sehen, dass ich für 4 aufeinanderfolgende Sechsen genau das vorgeschlagen habe: 1/1296 = (1/6)[sup]4[/sup].

Für 0 ist es auch einfach: (5/6)[sup]4[/sup], da es nur einen Pfad gibt.

Für alle anderen gibt es mehrere Pfade und alle haben unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.

 

[Hotwave]

Ach so war das gemeint, ich hatte "maximale Anzahl" so gesehen, dass nur das eine Ereignis mit der maximal möglichen Anzahl an 6en gemeint war blöd.
Sorry, mein Fehler ^^

...aber naja mit Aufgabenstellungen hatte ich es noch nie so ganz -.-

Die andere Aufgabe sollte aber stimmen

 

[DaPhreak]

Ach so war das gemeint, ich hatte "maximale Anzahl" so gesehen, als dass nur das eine Ereignis mit der maximal möglichen Anzahl an 6en gemeint war blöd.

Naja war ja fest vorgegeben, dass vier mal gewürfelt wird. Da wär die maximal mögliche Anzahl bissl langweilig, denn da gäbs nur einen Wert: 4.

Nix für ungut...

 

[Hotwave]

OT:
Ich seh schon, ich hab' die kommende 6 in der Matheklausur verdient

 

[TheMachine]

Stochastik war immer mein Lieblingsthema, weil man sich einfach alles mit logischem Denken herleiten kann (Meine einzige 1 im LK ) Wenn du also mal Hilfe brauchst -> ICQ 390214599

 

[Hotwave]

...und dieses Hilfsangebot ohne auf ihre Nickpage zu gucken, Respekt

Für so 'ne Nachhilfeschülerin würd ich doppelt und dreifach mehr lernen als für die Schule

 

[TheMachine]

ja stimmt *g*

Das Angebot war trotzdem unabhängig davon und gilt für jeden, den es betrifft

 

[Torti0889]

Danke, habt mir echt geholfen!
ech lieb von euch