[Mathe] Winkel im Dreieck (Vectoren)

[Bububoomt]

Hallo,

habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe:

Berechnen Sie die Winkel im Dreieck ABC sowie die Länge der Seiten!

1.A(1;3),B(2;0),C(3;2)
2.A(2;0;1), B(1;1;1), C(3;2;1)

Berechnung der Länge bekomme ich hin,
1. Vektor a Wurzel(5) Vektor b Wurzel(5),Vektor c Wurzel(10)
2. Vektor a Wurzel(5) Vektor b Wurzel(5),Vektor c Wurzel(2)

Wie macht man das aber richtig mit den Winkeln
wir haben gerechnet und einmal hatten wir ein ergebnis, das 180-unser Ergebnis ist das richtige ergebnis.

Also haben wir irgendwo einen kleinen Fehler.

Wie würdet ihr das berechnen? vielleicht haben wir auch schon bei der berechnung der Länge einen Fehler. Also wovon wir ausgehen, die Längen sind die gleichen wie im Lösungszettel.

Leider fehlt dort der Lösungsweg.

 

[evident]

gut, dass mein Abi noch nicht so lange her ist...


naja erstmal brauchst du die Streckenvektoren...

AB(1|-3) z.B
und
AC(2|-1)

solltest du ja können...

da kannst jetzt die Seitenlängen ausrechnen, indem du den Betrag der Vektoren ermittelst...

sprich: z.B. Wurzel(1²+(-3)²) = Wurzel(10)

und den Winkel mit dem Cosinussatz:

cos a = (AB skalarmultipliziert AC)/(Betrag(AB)*Betrag(AC)

steht alles im Tafelwerk...

-Flori-

 

[Bububoomt]

Also ich habe
AB=1;-3
BC=1;2
AC= 2;-1

Damit bekomme ich auch die Löngen AB=Wurzel(10),BC=Wurzel(5), AC=Wurzel(5)

Bekomme für Gamma 0/(w(5)*w(5)) 90°
Für Beta -5/(w(5)*w(10)) 45°
aber für Alpha bekomme ich -1/(w(5)*w(10)) ~ 98,1°


und dabei müßte Alpha 45° sein

 

[evident]

wenn ich mich jetzt nicht irre, ist das Skalarprodukt von AB und AC aber gleich 5

1*2+(-3)*(-1) = 5

und dann kommt auch alpha=45° raus...

-Flori-

 

[Bububoomt]

ja da bin ich jetzt auch drauf gekommen das ich da nciht + sondern minus gerechnet habe.

Aber beim zweiten habe ich jetzt

AB=c= -1,1,0
BC=a=2,1,0
CA=-1,-2,0

habe dann cos Gamma =-4/5, =143,1° => 180°-143,1°=36,9°
cos Beta & cos Alpha = -1/(w(2)*w(5)) =108,4° =>180°-108,4° =71,6°



eventuell vertu ich mich ja laufend, nach 3 Tagen á 6-8 Std. mahe auch ganz möglich...

*edit*
weißt du wie man nen Vektor um nen bestimmten winkel dreht??

 

[evident]

ja du hast dich schon wieder vertan... hast den Vektor CA aufgestellt... um den Winkel zu bestimmen brauchst du aber 2 Vektoren, die quasi im gleichen Punkt starten...
also AB und AC

cos Alpha = 1/(w(2)*w(5))

was letztendlich dann zum richtigen Ergebnis führt...




zum Problem Vektor drehen:

einen Vektor im Raum um einen bestimmten Winkel zu drehen würde unendliche viele Lösungen ergeben...

in der Ebene ist dies jedoch möglich...

aber ich weiß auch leider grad nicht, wie...

ne Skizze hilft da sehr... kannst das ganze ja versuchen, indem du diesen Cosinussatz zur Winkelbestimmung rückwärts anwendest... dann kriegst du sicherlich ne quadratische Gleichung, weil ja in der Ebene theoretisch nur 2 Lösungen rauskommen könnten...

um das mal als ganz kleine Skizze darzustellen:

/
--
\

(hast den Vektor "--" im gleichen Winkel gedreht... anch oben oder unten)
ich weiß, sieht ziemlich primitiv aus, erfüllt aber den Zweck...