[Mathe] Warum Reflexivität?

[yoshi]

“Bei der Definition des Begriffs Äquivalenzrelation kommt es nur auf die Symmetrie und die Transitivität an; die Reflexivität zu fordern ist dann überflüssig. Denn für alle x, y e X gilt aufgrund der Symmetrie x ~ y => y ~ x, und mittels der Transitivität folgt daraus x ~ x.”

Wie kann man erklären, dass es nicht so ist?

Danke für eure Hilfe.

 

[DaPhreak]

Du willst zeigen für alle x gilt x~x.

Nehmen wir jetzt also ein beliebiges x her. Wenn du jetzt ein y findest, so dass x~y ist, dann folgt wegen Symmetrie y~x und dann wegen Transitivität x~x.

Was passiert aber wenn es gar kein y gibt, so dass x~y? Dann klappt die Beweiskette nicht.

Symmetrie und Transitivität schließen also nicht aus, dass es Elemente gibt, die zu keinem Element der Menge äquivalent sind (also auch nicht zu sich selbst).

Wäre jetzt mal so meine spontane Erklärung.

 

[no1nose]

Was passiert aber wenn es gar kein y gibt, so dass x~y? Dann klappt die Beweiskette nicht.

Naja, aber wird hier nicht vorausgesetzt, dass Symmetrie und Transitivität gelten?

Also ich weiß nich...ich hab gestern schon ewig drüber nachgedacht und bin auf keinen grünen Zweig gekommen und im Moment bin ich noch mehr verwirrt ;-)

 

[DaPhreak]

Naja, aber wird hier nicht vorausgesetzt, dass Symmetrie und Transitivität gelten?

Naja ich habe die Fragestellung in etwa so verstanden: Angenommen, wir wissen, dass Symmetrie und Transitivität gilt, folgt daraus, dass Reflexivität gilt?

 

[no1nose]

Jop, ich auch.

Aber wenn es zu einem x kein y gibt, wie kann dann Symmetrie gelten?
Das war jetzt der Grund für meinen Post

Oder steh ich jetzt völlig aufm Schlauch?

 

[no1nose]

Auch wenn Doppelposts nicht optimal sind, Edit fand ich jetzt unpassend^^

Am besten ist vielleicht du zeichnest dir das Ganze mal als Bild auf, drei Elemente a, b und c, wobei zwischen a und b ein Pfeil ist und zwischen b und c ebenso ein Pfeil (mit Richtung!).
Und dann schaust du was passiert wenn du darauf Symmetrie, Transitivität anwendest (Symm: zu a->b kommt b->a usw., Trans: zu a->b->c kommt a->c)
Reflexivität hingegen müsstest du als einen Pfeil um ein Element selbst zeichnen, "erzeugt" werden durch die anderen kann der nicht.

Die drei Eigenschaften sind quasi drei unterschiedliche Dinge, die man getrennt voneinander betrachten muss.


Was mir unabhängig davon noch ein- bzw. aufgefallen ist, ist die Frage:
Gilt denn die Transitivität tatsächlich auch für 2 Elemente und nicht nur für drei ungleiche Elemente?

 

[DaPhreak]

Aber wenn es zu einem x kein y gibt, wie kann dann Symmetrie gelten?
Das war jetzt der Grund für meinen Post

Das ist meiner Meinung nach kein Widerspruch.
Bei Symmetrie betrachtet man nur alle Paare x~y. Und über die Paare trifft man eine Aussage, nämlich dass dann y~x folgt.

Wenn aber ein x zu gar keinem y äquivalet ist, dann ist die Voraussetzung für die Symmetriebeziehung nicht gegeben und damit macht man über das x gar keine Aussage.