[mathe] Untervektorräume

[webrula]

Ich glaub das ist ganz simpel wenn man es mal gerafft hat, aber ich google seit 2Stunden und bekomme es einfach nicht gebacken.

Gegen sei der Vektorraum R^n (n= 2 oder 3) über dem Körper K = R Untersuchen Sie die folgenden Aussagen über Untervektorräume auf ihre Richtigkeit

{x,y,2z e R^3 | x,y e Q, z e R} ist ein Untervektorraum des R^3

Dafür müssen ja drei Bedingungen erfüllt sein richtig? Aber wie mache ich das genau =(

Edit: einfach schauen ob sie linear unabhängig sind?

 

[sklemm]

Ja genau, du hast die drei Untervektorraumkriterien, das erste ist, dass U nicht leer sein darf. Naja, das ist wohl offensichtlich, wenn nicht kannst ja ein Element angeben (1,1,1).

Zweites Kriterium, für a,b \in U gilt a+b \in U:
also stupide einsetzen: (a1,a2,a3)+(b1,b2,b3) = (a1+b1,a2+b2,a3+b3) Q und R sind abgeschlossen was die Addition angeht (2R ist dann auch abgeschlossen), also liegt auch die Summe zweier Vektoren wieder in U

drittes Kriterium: für a \in U, c \in K gilt: c*a \in U:
c*a = c* (a1,a2,a3) = (c*a1,c*a2,c*a3) - das liegt aber nicht mehr in Q, weil c*a1 und c*a2 für a1,a2 \in Q, c \in R nicht in Q liegen. Beispiel: c = sqrt(2), a1<>0, a2<>0

HTH