[MATHE] Ungleichung lösen u. Umkehrfunktion aufstellen [gelöst] => Closen

[hoti]

Hey!

Habe bei zwei Aufgaben Probleme. Ihr findet diese hier.

1. Aufgabe
Bei dieser Aufgabe ist mir die Lösung klar, doch weiß ich nicht genau wie ich rechnerisch auf die Ergebnisse kommen soll.

2. Aufgabe
Hier fehlt mir ein Ansatz . Ich kann sie zwar etwas vereinfachen, aber nicht soweit, dass ich mit dem Logarithmus weiter machen kann.

Wenn Ihr Ideen hättet wie ich eines der Probleme lösen kann wäre ich euch sehr verbunden .

lg Hoti

 

[smailies]

zu Aufgabe 1: Beim Multiplizieren mit x musst du zwei Fälle unterscheiden: x positiv oder x negativ. Du hast den Fall x positiv durchgeführt

Anstelle der MNF bildest du nun die binomische Formel und kommst auf (...)²kleinergleich Null. (Ich will ja nicht alles verraten...) Und damit kommst du auf die eindeutige Lösung, da das Quadrat ja niemals kleienr Null werden kann.


Der zweite Fall liefert nach Vorraussetzung die Lösungsmenge x<0 und als errechnete Lösungsmenge alle x. Somit bleibt nur die kleinere der beiden Mengen, also x<0 bestehen.

 

[smailies]

Die zweite Aufgabe ist ein wenig tricky. Ich gebe dir mal den Ansatz:

Umkehrfunktion bedeutet ja, dass du zunächst einmal x und y in der Gleichung vertauschst. (Das geht, weil f(x) sterng monoton wachsend ist.)

Dann hast du die Gleichung x=e^y+e^2y

Und nun wird fröhlich substituiert und die entstehende quadratische Gleichung mit MNF aufgelöst. Die Rücksubstitution eliminiert eine der beiden Lösungen, die andere ist deine gesuchte Umkehrfunktion. Viel Erfolg!

smailies

 

[MrToiz]

Zu Aufgabe 1:

• Wieso mit PQ-Formel, wenn die "quadratische Ergänzung" viel einfacher wäre?
• Wieso sollte X2>=1 sein?

Die Aufgabe ist in der Tat etwas kniffliger, denn man muss zwei Kniffe anwenden:

x     + 1/x <= 2 ; x € R ^ x != 0 | -2
x - 2 + 1/x <= 0                  | *x

Fallunterscheidung!!!

1) x > 0

x² - 2x +  1  <= 0 | einfaches Umformen
  (x - 1)²    <= 0

Kleiner als 0 kann ein Quadrat aus reellen
Zahlen nicht sein, darum ist die einzige
Möglichkeit hier:

=> x = 1


2) x < 0

Hier dreht sich das Ungleichzeichen!

x² - 2x +  1  >= 0 | einfaches Umformen
  (x - 1)²    >= 0 | sqrt

Jetzt muss mit dem Betrag gerechnet werden,
da x ja negativ ist.

  |x - 1|     >= 0

Das ist logischerweise immer der Fall, außer
wenn x=1 wäre. Da wir aber hier sowieso nur
x<0 betrachten, ergibt das keine weitere
Einschränkung!

Folglich:
L = {x € R | x = 1 v x < 0}

Zu Aufgabe 2:

Hier hilft dir Substitution weiter!

y                   = e^x + e^2x       | z=e^x
y                   = z   + z²
y                   = (z + 1/2)² - 1/4 | +1/4
y + 1/4             = (z + 1/2)²       | sqrt()
sqrt(y + 1/4)       = z + 1/2          | -1/2
sqrt(y + 1/4) - 1/2 = z = e^x          | ln
x = ln(sqrt(y + 1/4) - 1/2)

Die negative Variante habe ich gleich mal weggelassen Ebenso müsste man der Vollständigkeit halber überprüfen, ob sich für den Definitionsbereich irgendwelche zusätzlichen Einschränkungen ergeben, was hier aber nicht der Fall ist.

 

[smailies]

Tja, nun hast du ja alles verraten...

|x - 1| >= 0

Das ist logischerweise immer der Fall, außer
wenn x=1 wäre....

Nein, das ist auch! bei x=1 richtig, größer oder gleich.

Ebenso müsste man der Vollständigkeit halber überprüfen, ob sich für den Definitionsbereich irgendwelche zusätzlichen Einschränkungen ergeben, was hier aber nicht der Fall ist...

...weil die erste Ableitung stets positiv ist und die Funktion auf ganz R differenzierbar ist. Der Definitionsbereich für die Umkehrfunktion ist dann durch die Quadratwurzel natürlich eingeschränkt, aber das findest du selber heraus. (Zusammenhang zwischen Definitions- und Wertebereich bei Funktion und Umkehrfunktion)

 

[hoti]

Danke ihr beiden .

x     + 1/x <= 2 ; x € R ^ x != 0 | -2
x - 2 + 1/x <= 0                  | *x

Fallunterscheidung!!!

2) x < 0

Hier dreht sich das Ungleichzeichen!

x² - 2x +  1  >= 0 | einfaches Umformen
  (x - 1)²    >= 0 | sqrt

Jetzt muss mit dem Betrag gerechnet werden,
da x ja negativ ist.

  |x - 1|     >= 0

Das ist logischerweise immer der Fall, außer
wenn x=1 wäre. Da wir aber hier sowieso nur
x<0 betrachten, ergibt das keine weitere
Einschränkung!

Folglich:
L = {x € R | x = 1 v x < 0}

Nur warum dreht sich hier nur das Ungleichzeichen? Wenn ich mit -x multipliziere?

x - 2 + 1/x <= 0                  | *(-x)

Oder nehme ich nur an das x eine Zahl < 0 sein soll, deswegen dreht sich dann das Ungleichzeichen, aber ansonsten ändert sich an der Gleichung nichts?

 

[MrToiz]

Oder nehme ich nur an das x eine Zahl < 0 sein soll, deswegen dreht sich dann das Ungleichzeichen, aber ansonsten ändert sich an der Gleichung nichts?

Richtig, x ist eine Zahl < 0. Würdest du mit -x multiplizieren, bliebe in diesem Fall das Ungleichzeichen (- * - = + !!!), dann müsstest du aber für x > 0 das Zeichen drehen

 

[smailies]

Danke ihr beiden .

Bitte schön

Nur warum dreht sich hier nur das Ungleichzeichen? Wenn ich mit -x multipliziere?

x - 2 + 1/x <= 0                  | *(-x)

Oder nehme ich nur an das x eine Zahl < 0 sein soll, deswegen dreht sich dann das Ungleichzeichen, aber ansonsten ändert sich an der Gleichung nichts?

Deine zweite Aussage ist die richtige. Gruß, smailies

 

[hoti]

So nun ist alles beantwortet . Vielen Dank.

Hier kann geschlossen werden.

LG Hoti