[Mathe] sin(2x) integrieren

[cashgnm]

Hallo, hab n kleines Problem.

Bei meinem Integral-Aufgabenzettel, kann ich genau diese Aufgabe nicht lösen.

Folgendes weiß ich bereits:

|sin(2x)dx=|(2*sinx*cosx)dx



außerdem die Grundformel:

|f*g' = f*g-|f'*g


Wie gehts nun aber weiter? Was mach ich außerdem mit dem 2er? Hatte bisher immer nur Bsp mit 2 Werten, weiß also nicht wirklich, wo ich den hingeben soll. gehört der zu f oder g'? Eher kaum, oder? Was dann?
Die Lösung ist nur mit Variablen anzugeben, das heißt, man hat kein Intervall vorgegeben.
Könnte mir vielleicht jemand helfen? Wäre supernett.


___
| = Integralzeichen (keine Ahnung, wie man das hier hinbekommt)

 

[stefff]

ich dachte:
f(x)=sin(2x)
F(x)=1/2*(-cos(2x))=-0,5cos(2x)

wenn man F(x) wieder ableitet bracuht man die innere Ableitung.
Also F'(x)= 0,5sin(2x)*2=sin(2x)

F(x) ist dann die Stammfunktion.
Da setzt man obere und untere Grenze ein, z.B. a(obere) und b(untere):
|=-0,5cos(2a)-(-0,5cos(2b))
=-0,5cos(2a)+0,5cos(2b)
=0,5*(-cos(2a)+cos(2b))

Hilft dir das schon mal weiter?

 

[cashgnm]

hmm, leider nicht wirklich. unser lehrer meinte auch schon, mal sollte sin(2x) in 2*cosx*sinx umschreiben und dann damit rechnen.

Die Lösung (wenn ich mir das richtig aufgeschrieben hab) ist auch ne andere: -cos²x+c

(c hängt man immer dran, hat keine große Bedeutung also)

 

[tdnpf]

du machst das über partielle integration:

int(sin(2x)dx)=int(2 sinx cosx dx)=2 int(sinx cosx dx)=2([cos^2x]-2 int(sinx cosx dx))
<=>2 int(sinx cosx dx)=cos^2x + c

sin(2x)=2sinx cosx, weil sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

 

[cashgnm]

hat geklappt, vielen dank



Habe bemerkt, dass sich mir noch ein Fehler eingeschlichen hat.. dachte eigentlich schon, es wäre richtig, aber naja ... wohl doch nicht
vielleicht kann mir hier auch noch wer behilflich sein


Angabe: int 1/(2x-3) dx

ich substituiere also:

t=2x-3 => x=(t+3)/2
dx/dt=(1/2) => dx=dt*0.5


int (1/t)*0.5 dt => int (1/2t) => ln (2t)

nun würd ich eigentlich das t=2x-3 einsetzen und danach fertig sein.
d.h.: ln(2*(2x-3))+c

die Lösung lautet aber: (1/2)*ln|2x-3|+c
Warum??
(und warum eigentlich den Betrag davon?.. aber nur so nebenbei, die andere Frage ist mir wichtiger.)

 

[Simplay]

hat geklappt, vielen dank



Habe bemerkt, dass sich mir noch ein Fehler eingeschlichen hat.. dachte eigentlich schon, es wäre richtig, aber naja ... wohl doch nicht
vielleicht kann mir hier auch noch wer behilflich sein


Angabe: int 1/(2x-3) dx

ich substituiere also:

t=2x-3 => x=(t+3)/2
dx/dt=(1/2) => dx=dt*0.5


int (1/t)*0.5 dt => int (1/2t) => ln (2t)

nun würd ich eigentlich das t=2x-3 einsetzen und danach fertig sein.
d.h.: ln(2*(2x-3))+c

die Lösung lautet aber: (1/2)*ln|2x-3|+c
Warum??
(und warum eigentlich den Betrag davon?.. aber nur so nebenbei, die andere Frage ist mir wichtiger.)

Ich studiere angewandte Mathemaik im 3. Semester und denke ich kann dir weiterhelfen !

Hab dir mal deinen Fehler rot markiert.

Wenn du ln(2t) differenzierst (ableitest) erhälst du 2*1/(2t) = 1/t. (Kettenregel)
Also hast du das Integral falsch gelöst.

Versuche mal die 1/2 rauszuziehen aus dem Integral (1/2 ist konstant), also:
int (1/t)*0.5 dt => int (1/2t) dt => 1/2 * int(1/t) dt => 1/2 * ln|t| +c =>1/2*ln|2x-3|+c


Die Betragstriche kommen zustande, weil ln im negativen nicht definiert ist.

 

[tdnpf]

[ot] Wo studierst du? Und warum nur Angewandte Mathematik? [/ot]

 

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[ot] Wo studierst du? Und warum nur Angewandte Mathematik? [/ot]

Bielefeld. hab leider nur Fachabitur... deswegen angewandte mathematik.
du auch mathestudent ! adde dich mal im icq !
müssen ja nicht hier labern. stört nur die anderen leute und passt ja auch dann nicht zum thema sin(2x) integrieren ! ;-)

 

[evident]

Auch nur nebenbei: Wird partielle Integration im Gymnasium gelehrt? Also bei mir war das damals nicht der Fall (Sachsen-Anhalt).

Musste ich mir dann selbst beibringen...

interessiert mich jetzt die Frage ob das bei euch inner Schule dran is...

-Flori-

 

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Auch nur nebenbei: Wird partielle Integration im Gymnasium gelehrt? Also bei mir war das damals nicht der Fall (Sachsen-Anhalt).

Musste ich mir dann selbst beibringen...

interessiert mich jetzt die Frage ob das bei euch inner Schule dran is...

-Flori-

ich hatte das im fachabitur (NRW). also auf nem guten gymnasium sollte das schon behandelt werden finde ich.
vielleicht legen manche gymnasien aber auch mehr wert auf stochastik oder numerik und gehen dafür nicht so tief in die Analysis.

 

[tdnpf]

ich hatte das in der 11.Klasse, zusammen mit dem Rest der Integration.

 

[DaPhreak]

Auch nur nebenbei: Wird partielle Integration im Gymnasium gelehrt? Also bei mir war das damals nicht der Fall (Sachsen-Anhalt).

Musste ich mir dann selbst beibringen...

interessiert mich jetzt die Frage ob das bei euch inner Schule dran is...

Ich hatte das auch in der Schule damals, Klasse 11 wenn ich mich recht erinnere (Thüringen, 12-Jahre-Abi).

Für die Aufgabe ist allerdings partielle Integration ein wenig an den Haaren herbeigezogen, wie stefff schon bemerkte sieht man das eigentlich direkt viel schneller. Naja.

 

[cashgnm]

Vielen Dank... mein Fehler war tatsächlich, dass ich das (1/2) nicht vorher rausgehoben hab... müsste zwar ohne auch irgendwie gehen, aber is ja egal

Und ja.. bei uns wird das schon durchgenommen (bin im letzten Jahr)... komm aber aus Ö, dürfte anders sein als in D.

Noch ne kleine Frage: Ist cos(2x) das Gleiche wie cos^2(x)?
Mein Lehrer meinte nämlich, dass man sin(2x) nicht direkt integriern kann, weil dann ja cos(2x) ((-), aber ist egal) rauskommt und das dann nicht funktioniert, weil man das ja mit nem doppelten Winkel nicht machen kann... irgendwie in dieser Art und Weise.

 

[tdnpf]

ja, ist cos^2x
liegt aber daran, daß cos(x+y)= cosx cosy -sinx siny

 

[DaPhreak]

Noch ne kleine Frage: Ist cos(2x) das Gleiche wie cos^2(x)?

Fast.

cos(2x)
= cos(x+x)
= cos(x)*cos(x)-sin(x)*sin(x) | Additionstheorem
= cos²(x) - sin²(x)
= cos²(x) - (1-cos²(x)) | trigonometrischer Pythagoras (sin²+cos²=1)
= 2*cos²(x) - 1.

Findet sich auch in einem gut sortierten Tafelwerk, der Zusammenhang.

Mein Lehrer meinte nämlich, dass man sin(2x) nicht direkt integriern kann, weil dann ja cos(2x) ((-), aber ist egal) rauskommt und das dann nicht funktioniert, weil man das ja mit nem doppelten Winkel nicht machen kann... irgendwie in dieser Art und Weise.

Klar kann man. Entweder durch "scharfes Hinsehen" (man sieht, dass -1/2*cos(2x) abgeleitet sin(2x) ergibt) oder durch Substitution: z = 2x, dann sin(z) integrieren entsprechend der Subsitutionsregel.

Oder halt partiell, wie oben gezeigt. Obwohl das ansich umständlicher ist, als es sein müsste.