[Mathe] Lineare Algebra

[Bart]

Hi,

habe eine Frage...
Gegeben ist der Raum der unendlich oft diff.baren komplexwertigen Funktionen mit f(t)=f(t+1) für alle t aus R. (Sei dieser Raum V)

Nun ist zu einer natürlichen Zahl n und a:=1/n der folgende Endomorphismus gegeben: T: V-->V, T(f)(t) := f(t+a)

Man soll nun n verschiedene Eigenwerte zu T finden, und die zugehörigen Eigenvektoren.


Also das ist nicht gerade mein Fachgebiet; aber soweit ich weiß gilt für einen EW L und einen EV x: T(x)=L*x

Nun ist dies meiner Meinung nach bei periodischen Funktionen schlicht nicht möglich, außer höchstens für L=1.

Die Aufgabe ist aber mit Sicherheit lösbar, ergo muss ich entweder noch irgendwas nicht begriffen haben oder ich hab n Denkfehler drin.

Wäre sehr nett wenn sich jemand mit Ahnung hierzu äußern könnte
Vielen Dank im Voraus!

LG, Bart

 

[DaPhreak]

Ich hab zwar nur die beschränkte Sicht eines Ingenieurs auf lineare Algebra, aber ich interpretier das so:

- Gegeben ist die Menge der periodischen Funktionen mit Periode 1.
- Die Abbildung (?) T verschiebt jede Funktion um a=1/n.

Dann wären Eigenvektoren von T die Funktionen, die mit 1/n periodisch sind (und damit natürlich auch Funktionen deren Periode 1/(k*n) ist, für beliebige ganze k). Das würde allerdings bedeuten, dass die Eigenwerte, wie Du schon sagst, eins sind.

Ist euch denn gesagt worden, dass die Eigenwerte echt verschieden voneinander sind? Das muss ja nicht immer so sein. Bei Matrizen z.B.: NxN-Matrizen haben zwar laut Fundamentalsatz der Algebra immer N Eigenwerte, aber die müssen nicht verschieden sein, es kann auch ein Eigenwert mit höherer Vielfachheit auftreten.

T selbst könnte ja auch Funktionen mit anderen Eigenwerten haben, wenn diese beispielsweise aus einer mit 1/n periodischen Funktion und einem Vorfaktor àla c[sup]-t[/sup] bestehen. Dann wäre c[sup]-(t+a)[/sup]=c[sup]-a[/sup]*c[sup]-t[/sup] und damit c[sup]-a[/sup] ein Eigenwert. Das Problem ist, dass diese Funktionen gar nicht in V liegen, denn alles in V muss ja streng periodisch sein.

Mal sehen, vielleicht können die Mathematiker hier ja noch mehr dazu sagen.

 

[Bart]

Ja, es sind n verschiedene Eigenwerte von T gefordert.

Vielleicht hilft es ja: die Aufgabe davor war, zu zeigen, dass der Endomorphismus T unitär ist(, was ich schon getan habe).

Mein Problem ist irgendwie die fehlende Anschauung; scheinbar kann man die nicht so direkt aus dem Reellen übernehmen...

V wird hier als Vektorraum bezeichnet. Sind also die Funktionen von mir aus die Vektoren... Aber dann müsste der EV ja auch so eine Funktion, von mir aus E sein, und der Eigenwert eine komplexe Zahl e. (wäre e rein reell ginge das ganze sowieso schonmal nicht.)
Für die müsste dann ja aber gelten: T(E)(t)=E(t+1/n)=e*E(t),
Keine Ahnung wie ich darauf kommen soll. Im Skript steht auch nichts dazu. Aber ich vermute mal Raten wird nich gefragt sein..

 

[DaPhreak]

Vielleicht hilft es ja: die Aufgabe davor war, zu zeigen, dass der Endomorphismus T unitär ist(, was ich schon getan habe).

Ich wollte grade schreiben: folgt daraus nicht, dass die Eigenwerte 1 sind? Aber dann hab ich's gesehen:

Für die müsste dann ja aber gelten: T(E)(t)=E(t+1/n)=e*E(t),

E(t+1/n)=e*E(t)
E(t+2/n)=e*E(t+1/n)=e[sup]2[/sup]*E(t)
E(t+3/n)=e*E(t+2/n)=e[sup]3[/sup]*E(t)
...
E(t+n/n)=e[sup]n[/sup]*E(t)
und mit der Eigenschaft von V folgt außerdem:
E(t+n/n)=E(t+1) = E(t)

Beides zusammen:
E(t) = e[sup]n[/sup]*E(t)

Sprich: Die Eigenwerte müssen die Eigenschaft e[sup]n[/sup] = 1 erfüllen. Also funktionieren genau die n Wurzeln aus 1: e[sup]j*2*pi/n*k[/sup] für k=0, 1, ..., n-1.

Das sind deine Eigenwerte. Und es sind genau n verschiedene.

 

[Bart]

imba.
absolut superkorrekt.
Danke dir vielmals!^^

Bart

*edit: Hmm, warum gilt denn E(t+2/n)=e*E(t+1/n) *amkopfkratz*

*edit2: Dann muss ich ja noch die passenden Funktionen finden^^ okay, probier ich das morgen früh nochmal. Danke!

 

[Bart]

hmm ok einfach e^2pi*i*t müsste funktionieren.. (um den Thread abzurunden.)

 

[DaPhreak]

*edit: Hmm, warum gilt denn E(t+2/n)=e*E(t+1/n) *amkopfkratz*

E(t+1/n) = e*E(t)
=> E(t+2/n) = E([t+1/n]+1/n) = e*E(t+1/n).

Jetzt besser?

hmm ok einfach e^2pi*i*t müsste funktionieren.. (um den Thread abzurunden.)

Nicht noch ein n im Exponenten oder so? Also mit 1/n sollte sie auf jeden Fall periodisch sein...

 

[Bart]

Guten Morgen,

E(t+1/n) = e*E(t)
=> E(t+2/n) = E([t+1/n]+1/n) = e*E(t+1/n).

Also ich glaube das muss nicht unbedingt gelten; zu dem Zeitpunkt ist ja noch gar keine Funktion bestimmt.. Mag natürlich sein, dass es bei komplexwertigen Funktionen gar nicht anders geht und deshalb doch folgt, kenn mich da noch net so aus; und mir fällt jetzt auch kein Gegenbeispiel ein, ist ja auch egal

e^2pi*i*t

Nicht noch ein n im Exponenten oder so? Also mit 1/n sollte sie auf jeden Fall periodisch sein...

Multiplikation mit e=n-sqrt(1) (n-te Wurzel soll das sein) ..= e^(i*2pi/n)sollte jeden Punkt um den Winkel 2pi/n drehen. (die Bezeichnung e hab ich nicht so schlau gewählt fällt mir dabei auf) Dies entspricht bei der Funktion e^2pi*i*t genau dem Operator T, nämlich e^((2pi*i*t)+(i*2pi/n))=e*e^((i*2pi*t).

Das sollte nun stimmen, denke ich.. entsprechend natürlich e^2 die Drehung um 2*2pi/n; und e^n=1 wär dann EW#n zu EV#n=e^(2pi*i*t+i*2pi)=e^2pi*i*t

 

[DaPhreak]

Also ich glaube das muss nicht unbedingt gelten; zu dem Zeitpunkt ist ja noch gar keine Funktion bestimmt.. Mag natürlich sein, dass es bei komplexwertigen Funktionen gar nicht anders geht und deshalb doch folgt, kenn mich da noch net so aus; und mir fällt jetzt auch kein Gegenbeispiel ein, ist ja auch egal

Das ist auch unabhängig von der konkreten Funktion. Ich habe nur die Eigenschaft des Eigenvektors genommen (E(t+1/n) = e*E(t)) und die zweimal angewendet (i.A. n mal angewendet). Das lieferte e[sup]n[/sup]=1.

Multiplikation mit e=n-sqrt(1) (n-te Wurzel soll das sein) ..= e^(i*2pi/n)sollte jeden Punkt um den Winkel 2pi/n drehen.

Mit dem Eigenvektor könntest Du recht haben. Zumindest für k=1 funktionierts:

e[sup]j*2*pi*(t+1/n)[/sup] = e[sup]j*2*pi/n[/sup] * e[sup]j*2*pi*t[/sup].
f(t+1/n) = e*f(t).

Aber was ist dann mit k=2, also dem Eigenwert e[sup]j*2*pi*2/n[/sup]? Braucht man da nicht noch nen Faktor im Exponenten?

 

[Bart]

Das ist auch unabhängig von der konkreten Funktion. Ich habe nur die Eigenschaft des Eigenvektors genommen (E(t+1/n) = e*E(t)) und die zweimal angewendet (i.A. n mal angewendet). Das lieferte e[sup]n[/sup]=1.

Ich begreifs immer noch nicht - ist klar was du meinst, aber die Eigenschaft des EWs e gilt doch nur für den zugehörigen Eigenvektor, oder nicht? Also für E(t). Du hast für E(t+1/n) doch eine andere Funktion/einen anderen Vektor.. Dass das trotzdem geht muss irgendwie an der Periodizität von E liegen... oder so
Das funktioniert ja z.B. für unsere Kreisfunktion nur, weil es eben ein Kreis ist. Wäre es eine Ellipse, ginge das nichtmehr. Und eine Ellipse (um den Nullpunkt) wäre z.B. auch ein Eigenvektor zum Eigenwert L=e[sup]i*pi[/sup]...(180° Drehung) verstehst du was ich meine?^^

Aber was ist dann mit k=2, also dem Eigenwert e[sup]j*2*pi*2/n[/sup]? Braucht man da nicht noch nen Faktor im Exponenten?

Jo, genau. Der EW e[sup]j*2*pi*2/n[/sup] bewirkt eine Drehung um 2pi*2/n. Da gehört also noch n k rein: e[sup]i*2pi*k*t[/sup]
Dann ist für k=2 z.B.:
e2=e[sup]i*(4pi/n)[/sup] mit EV f2(t)=e[sup]i*4pi*t[/sup]
==> f2(t+1/n)=e[sup]i*4pi*(t+1/n)[/sup]=f2*e[sup]i*(4pi/n)[/sup]=f2*e2

Analog kann man natürlich die 2 durch k ersetzen. qed

 

[DaPhreak]

Ich begreifs immer noch nicht - ist klar was du meinst, aber die Eigenschaft des EWs e gilt doch nur für den zugehörigen Eigenvektor, oder nicht? Also für E(t). Du hast für E(t+1/n) doch eine andere Funktion/einen anderen Vektor.. Dass das trotzdem geht muss irgendwie an der Periodizität von E liegen... oder so

Wieso?

Wenn E(t+1/n) = e*E(t) für beliebige t gilt, dann gilt doch auch E(z+1/n) = e*E(z) für beliebige z.

Warum sollte ich nicht z = t+1/n setzen dürfen und dann folgern dass auch E(t+1/n+1/n) = e*E(t+1/n) ist?

Übersehe ich dabei etwas?

 

[Bart]

für beliebige t

Ja, Du hast ja so recht
Jetzt sehe selbst ich es.^^

Damit wäre die Aufgabe ohne Lücken gelöst; dickes Danke an DaPhreak!


Bye bye, bis zum nächsten Mal

der Bart