[Mathe] int(abs(sinx))

[Bart]

Hallo Leute,

habe da ein klitzekleines Problem, und zwar bräuchte ich das Integral von |sinx| zunächst, und dann das Integral von |sin(nx)|, wobei dies das selbe ergeben dürfte. (Jeweils in den selben Grenzen a,b)

Ich habe schon ein paar Überlegungen angestellt, die mich leider nicht so richtig weiterbringen:
Man könnte das Integral aufteilen in die Grenzen a,c c,d und d,b; wobei c=p*pi und d=q*pi mit p,q€Z. Das mittlere Integral wird dann trivial, bleibt dann aber noch -cosa-cosb übrig...
Andernfalls könnte man sinx+1 betrachten und dann das entsprechende Integral abziehen.
Beide Ansätze führten bei mir bisher leider nicht zum Ziel, jedenfalls nicht zum richtigen - das da sein müsste Int(abs(sin nx))=(b-a)*2/pi.

Was mach ich falsch / wie geht der richtige Ansatz?
Hoffe mir kann jemand helfen.

Bart

 

[DaPhreak]

habe da ein klitzekleines Problem, und zwar bräuchte ich das Integral von |sinx| zunächst, und dann das Integral von |sin(nx)|, wobei dies das selbe ergeben dürfte. (Jeweils in den selben Grenzen a,b)

Geschlossene Lösung sehe ich jetzt auch nicht sofort. In jedem Fall ist klar, dass |sin(x)| periodisch mit pi ist (|sin(nx)| periodisch mit pi/n) und dass das Integral über jede dieser Perioden 2 ist (2/n im allgemeinen).

Somit muss man berechnen:
- wieviele Perioden erfasst werden: Nennen wir b-a mal Delta. Dann ist ABRUNDEN(Delta/(pi/n)) die Anzahl der ganzen Perioden.
- Das mal 2/n nehmen: Teilfläche1 = 2/n*ABRUNDEN(Delta/(pi/n))
- Dazu muss man aber noch die "Reststücke" addieren also von a bis zur ersten Periode und von der letzten Periode bis b.

Das führt aber auf keine "schönen" Formeln, solange a und b nicht zufällig grade Vielfache von pi/n sind.

Für den Fall, dass sie Vielfache von pi/n sind, werden die Reststücke null und die Teilfläche1: 2/n* (b-a) / (pi/n) = (b-a)*2/pi. Sicher, dass das nicht evtl. doch gegeben war?

Beide Ansätze führten bei mir bisher leider nicht zum Ziel, jedenfalls nicht zum richtigen - das da sein müsste Int(abs(sin nx))=(b-a)*2/pi.

Ich glaube das stimmt nur, wenn b-a Vielfaches von pi/n ist.
Beispiel:
a = 0, pi = 4*pi
int(abs(sin(x)),a,b) = 8
(b-a)*2/pi = 8.
Stimmt.

Gegenbeispiel:
a = 0, pi = 4.25*pi
int(abs(sin(x)),a,b) = 9-1/2*sqrt(2).
(b-a)*2/pi = 8.5
Stimmt nicht.



P.S.: Grade in Matlab nochmal durchgerechnet:

Blau, das Integral, schwarz die (b-a)*2/pi-Formel. Die Schwankungen sind keine Rechenungenauigkeiten, das dürfte ziemlich genau sein. Man sieht, wie es an Vielfachen von pi/2 übereinstimmt und dazwischen nicht.

 

[sklemm]

Also ohne die genaue Lösung zu kennen, würde ich jetzt einfach mal behaupten, dass Int(abs(sin nx))=(b-a)*2/pi nicht die richtige Lösung sein kann, denn der wert des Integrals kann nicht nur von der Differenz zwischen a und b abhängen. Es sollte was anderes rauskommen, wenn ich über eine kurzes Stück um das Maximum integriere als wenn ich es genau im Minimum mache, also Int_{pi/2-0,5}^{pi/2+0,5}(...) <> Int_{pi-0,5}^{pi+0,5}(...)

Ein streng analytische Lösung fällt mir nicht ein - das muss aber nichts heißen

Ich würde es mir mal so überlegen:
Int_a^b f(x) dx (heißt Integral von a bis b von f(x) nach x)
= Int_0^b f(x) dx - Int_0^a f(x) dx (1)

jetzt schreiben wir die beiden grenzen als:
a= m*Pi/n+k
b=l*Pi/n+i
und f(x)=|sin(nx)|

Jetzt mache ich mal nur mit dem Minuenden von (1) weiter:
Int_0^b |sin(nx)| dx = Int_0^(l*Pi/n) |sin(nx)| dx + Int_(l*Pi/n)^(l*Pi/n+i)|sin(nx)| dx

l*Pi/n ist aber genau eine halbe Periode, das ist gut, denn nun können wir schreiben:
Int_(l*Pi/n)^(l*Pi/n+i)|sin(nx)| dx = Int_0^i sin(nx) dx
und
Int_0^(l*Pi/n) |sin(nx)| dx = 2/n*l

das musst du halt nochmal genau zeigen, aber aufmalen und kurz nachdenken macht das glaube ich klar.

Naja, jetzt noch das gleiche mit der anderen Grenze und dann hast du eine analytische Lösung. Die Herleitung ist nicht schön und es gibt bestimmt bessere, aber ich finde gerade keine Möglichkeit...

Edit: Oh, jetzt haben sich unsere Beiträge überschnitten... Naja, beruhigt mich, dass daphreak den gleichen Weg vorschlägt und auch auf keinen anderen kommt

 

[MrToiz]

Derive spuckt folgendes als Lösung aus

2*floor(x/) - cos(x)*sign(sin(x))

Ist auch insoweit nachvollziebar, denn:
-cos(x) wäre die Stammfunktion zu sin(x).
-cos(x)*sign(sin(x)) ist praktisch sowas wie eine "abschnittsweise Stammfunktion" für |sin(x)|, die jeweils nur für Intervalle gilt, die an einem Maximum beginnen und höchstens bis zum nächsten gehen. Um dann noch alle vollständigen Intervalle vor diesem Bereich mit reinzukriegen, addiert man 2*floor(x/).

 

[Bart]

Danke euch für die Antworten.
So wie sklemm bzw. DaPhreak hatte ich es auch probiert. Normalerweise stimmt das, was auf unseren Aufgabenzetteln steht, auch wenn es erstmal unlogisch erscheint. Deshalb war ich erstmal leicht verwirrt.. Aber ihr habt natürlich recht... das ist Unsinn im Allgemeinfall. Die Grafik von DaPhreak machts ja auch nochmal offensichtlich.
Ergibt sich nun natürlich die Frage: Was soll das?^^
Dort steht nämlich explizit (im Hinweis) "Man zeige -falsche Behauptung-" [...], und zu a und b ist rein gar nichts erwähnt ansonsten.
Ich kann ja mal die Behauptung angeben, die insgesamt bewiesen werden soll:

lim(int_a^b(f(x)*|sin nx| dx)) = 2/pi * int_a^b(f(x) dx),

wobei lim für n gg. unendlich und f: [a,b]-->R eine Riemann-integrierbare Funktion.
Diese Behauptung scheint für beliebige a,b zu stimmen.

...Mir fällt gerade was auf: Wenn n gegen unendlich läuft, könnte das doch stimmen.

Ich glaube das stimmt nur, wenn b-a Vielfaches von pi/n ist.

Genau! Malt man sich das auf ist es offensichtlich, dass für n=2 das (b-a) nur noch Vielfaches von pi/2 sein muss. Und rechnerisch wirds auch klar.. d.h. für sehr große n wird die Formel 2(b-a)/pi genauer.
Gut, im Hinweis steht zwar nichts von Limes, also immer an sich immer noch ne falsche Aussage. Aber für die Aufgabe sollte es genügen... Ich probiers mal...

 

[DaPhreak]

Ja, je höher n desto besser wird die Näherung. Für n gegen unendlich wird's exakt.


Hier mal n=1, n=2, n=10:

 

[Bart]

Das ist ja ein verdammt nützliches Programm, sowas sollte ich mir auch mal zulegen...
Danke!

 

[DaPhreak]

Das ist ja ein verdammt nützliches Programm, sowas sollte ich mir auch mal zulegen...

Wie pflegte mein Prof immer etwas zu übertreiben: "If you cannot solve it in Matlab, it is not an engineering problem!"

 

[Bart]

xD
Tja, "Differenzieren ist eine Fertigkeit... Integrieren ist eine Kunst."
Das sagte ein Prof von meinem Vater früher, aber damals gabs wohl auch noch kein Matlab.^^

Also, ich habs nun, sollte richtig sein so... Danke an alle für die kognitive Unterstützung!

cu baba,
Bart