[Mathe] inhomogene LGS

[DadyCool]

Hallo,

ich habe eine Frage:

Und zwar habe ich ein inhomogene LGS. Dazu ist auch eine Lösung angegeben.

Nun soll man mit Hilfe des zugeh. homogenen LGS die gesamte Lösungsmenge bestimmen.

Wenn ich das richtig verstanden habe, bekomme ich das zugehörige homogene LGS, wenn ich b(i) auf 0 setzt und ich eine Stufenumformung mache.

Die letzt Zeile ist dann eine Nullzeile die ich streichen kann. oder?

Kann mir das evtl jemand nochmal anhand eines Beispiels erklären?

Und wenn ich dann das homogene LGS habe, wie müsste ich weiter machen um die gesamte Lösungsmenge zu bestimmen?


Danke

DadyCool

 

[DaPhreak]

Kennst Du die Matrix-Vektor-Schreibweise von linearen Gleichungssystemen? (wenn nicht sag bescheid)

Man kann ein inhomogenes LGS schreiben als:

Also, A beinhaltet die Koeffizienten, x die Variablen nach denen Du löst, b das was auf der anderen Seite steht. Gegeben hast Du also A und b und wenn Du das imhomogene LGS löst, bestimmst Du x.

Das homogene LGS was dazugehört entsteht wenn man b durch 0 ersetzt:

wobei hier jetzt y die Lösung des homogenen LGS ist.

Und was hilft das nun? Nehmen wir uns mal ein z vor, was so aussieht:

Wenn wir jetzt dieses z mal in das ursprüngliche, inhomogene LGS einsetzen, dann bekommen wir:

... ausmultiplizieren und einsetzen ...

Und was lernen wir daraus?

Und das heißt? Das heißt z ist auch eine Lösung des inhomogenen LGS.

Ergo: Wenn Du eine Lösung des inhomogenen hast (x) und alle Lösungen des homogenen bestimmst dann ist für jedes y auch x+y eine Lösung des inhomogenen LGS. Und so kann man alle Lösungen des inhomogenen LGS bestimmen. Indem man das homogene löst.

Zu kompliziert erklärt?