[Mathe] Herleitung der Volumenberechnung vom Kegelstumpf

[Pummeluff]

Hi,

ich bräuchte ein paar "verständliche" Denkanstöße bzw. Rechenwege, wie ich die Volumenberechnungsformel vom Kegelstumpf (z.B. im Tafelwerk), von der Flächenberechnungformel der Rotationskörper ableite. < Ich hoffe ihr versteht was ich meine...

 

[tedlemegba]

Puh.. lang lang ist's her. Was ist denn die "Flächenberechnungformel der Rotationskörper"? Ein Integral? Oder berechnest du das anders?

Edit: Bzw. sollte ein (bestimmtes) Integral zur Berechnung des Volumens helfen. *verlesen hatte* Sprich die Querschnittsfläche (bzw. der Radius des Kegelstumpfes) ist abhängig von der "Höhe".

 

[DaPhreak]

Meinst Du diese Formel?


In dem Falle bräuchtest Du nun für das f(x) eine Funktion die beim Wert R1 anfängt (Radius der Deckfläche) und nach der Höhe des Kegelstumpfes (h) den Wert R2 hat (Radius der Grundfläche)

Also z.B. so:

a = 0, b = h
f(x) = R1 + (R2-R1)*x/h

Damit ist für die untere Grenze a=0: f(0) = R1 + (R2-R1)*0/h = R1.
und für die obere: f(h) = R1 + (R2-R1)*h/h = R1 + R2 - R1 = R2.

Also genau das was wir wollen.

Nuja und nu noch einsetzen...

f(x)² = R1^2 + 2*R1*(R2-R1)/h * x + (R2-R1)²/h²*x².

Das integriert von 0 bis h, dann noch mit pi multiplizieren, fertig.

Ich komm auf [R1²+R2²+R1*R2]*pi*h/3.

 

[Pummeluff]

danke, absolut richtig