[Mathe] Faltung

[theHacker]

Moin.

An der Uni haben wir grade ne tolle Aufgabe, die wir vorbereiten sollen. Keiner hat Ahnung und selbst nach 2stündigem Googlen hab ich auch kein Beispiel im Netz gefunden.

Aufgabe ist eigentlich ganz simple:
Geg.: h[sub]1[/sub](x) = 1 für |x| ≤ ½, 0 sonst

Verlangt ist: h[sub]1[/sub] * h[sub]1[/sub] berechnen

Formel anwenden:
(h[sub]1[/sub] * h[sub]1[/sub])(t) = ∫[sub]-∞ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](t-τ) dτ

...ja und weiter ? Ich hab keinen Schimmer, wie ich da ran gehen soll.

 

[Berbatov]

Kann dir zwar nicht direkt helfen, aber https://matheplanet.com empfehlen.
Stell da die Frage und in maximal einer Viertelstunde wirst du die erste helfende Antwort haben.
Leider meist nur ein Gedankenanstoss, so direkt die Lösung rücken die nicht so gerne raus.

Hab mir da die eine oder andere Aufgabe in der Abivorbereitung erklären lassen.

 

[DaPhreak]

An der Uni haben wir grade ne tolle Aufgabe, die wir vorbereiten sollen. Keiner hat Ahnung und selbst nach 2stündigem Googlen hab ich auch kein Beispiel im Netz gefunden.

Aufgabe ist eigentlich ganz simple:
Geg.: h[sub]1[/sub](x) = 1 für |x| ≤ ½, 0 sonst

Verlangt ist: h[sub]1[/sub] * h[sub]1[/sub] berechnen

Formel anwenden:
(h[sub]1[/sub] * h[sub]1[/sub])(t) = ∫[sub]-∞ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](t-τ) dτ

...ja und weiter ? Ich hab keinen Schimmer, wie ich da ran gehen soll.

Was Du möchtest ist zwei Rechtecke miteinander falten. Wie immer bei der Faltung gibt es zwei Möglichkeiten:
a) grafisch: Folgende Schritte um allgemein u[sub]1[/sub](t) mit u[sub]2[/sub](t) zu falten:
Eins der beiden an der y-Achse spiegeln, z.B, u[sub]2[/sub](t).
u[sub]1[/sub](t) und u[sub]2[/sub](t) untereinander zeichnen.
Das Produkt der beiden Funktionen bestimmen.
Die Fläche des Produkts berechnen (Integral -∞ bis +∞). Das gibt das Faltungsprodukt für τ=0.
u[sub]2[/sub](t) um τ verschieben. Dann Schritte 2-4 wiederholen. Das gibt das Faltungsprodukt für τ. Für markante Stellen von τ wiederholen, dann Punkte verbinden.

Klingt kompliziert, ist aber u.U. recht einfach.

Am Beispiel Deiner Aufgabe:
Die Spiegelung ändert nichts, da Deine Funktion symmetrisch zur y-Achse ist.
Die beiden Funktionen untereinander gezeichnet, beide sind nur zwischen -½ und +½ von 0 verschieden und zwar genau 1. Das Produkt ist damit auch genau 1 und damit ein Rechteck der Höhe 1 und der Breite 1 (½ - (-½)). Fläche ist 1. Faltungsprodukt bei τ=0 ist 1.
Jetzt fängst Du an, die untere zu verschieben. Klar ist: Hast Du sie um mehr als 1 nach links oder nach rechts geschoben, dann überlappen sich die Rechtecke gar nicht mehr. Das Produkt ist damit überall null und also auch das Faltungsprodukt für |τ| > 1.
Verbleibt das Intervall zwischen -1 und 1. Hier kann man sich überlegen, dass die Überlappung der Rechtecke linear mit τ abnimmt. Hast Du z.B. um ½ nach links oder rechts geschoben ist das Produkt ein Rechteck der Höhe 1 und der Breite ½ und damit die gemeinsame Fläche ½.
Das alles zusammengenommen kommt eine dreieckige Funktion raus: bei τ=0 ist sie 1, für größere |τ| nimmt sie linear ab, bis sie bei |τ|=1 den Wert null erreicht hat.


Und nun Möglichkeit 2:
b) rechnerisch:

Nicht immer geht die grafische Lösung so gut, das hängt davon ab, wie kompliziert die Funktionen sind. Bei Rechtecken geht das noch, i.A. nicht immer. Natürlich kann man auch das hier rechnen.

g(t) = (h[sub]1[/sub] * h[sub]1[/sub])(t) = ∫[sub]-∞ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](t-τ) dτ

Wir beginnen der Einfachheit halber mal mit t=0. Dann haben wir

g(t=0) = ∫[sub]-∞ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](-τ) dτ.

Da h[sub]1[/sub](-τ) eine gerade Funktion ist gilt h[sub]1[/sub](-τ) = h[sub]1[/sub](τ).

Also bleibt

g(t=0) = ∫[sub]-∞ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](τ) dτ.

Nun in Intervalle teilen:

g(t=0) = ∫[sub]-∞ bis -½[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](τ) dτ
+∫[sub]-½ bis +½[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](τ) dτ.
+∫[sub]+½ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](τ) dτ.

In Intervall eins und drei ist h[sub]1[/sub](τ) laut Definition = 0, damit entfällt das Integral. Im mittleren ist h[sub]1[/sub](τ) = 1:

g(t=0) = ∫[sub]-½ bis +½[/sub] 1 dτ =
(τ)[sub]-½[/sub][sup]+½[/sup] = ½ - (-½) = 1.

Ein von 0 verschiedenes t läuft so ähnlich ab.

g(t) = ∫[sub]-∞ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](t-τ) dτ
= ∫[sub]-∞ bis +∞[/sub] h[sub]1[/sub](τ)h[sub]1[/sub](τ-t) dτ.

Hier gibt es nun verschiedene Intervalle zu beachten:
Für h[sub]1[/sub](τ) die Intervalle -∞ ...-½, -½ ... +½, +½ ... +∞,
für h[sub]1[/sub](τ-t) die Intervalle -∞ ...t-½, t-½ ... t+½, t+½ ... +∞.

Nur in den mittleren Intervallen sind die Funktionen jeweils von null verschieden.

Ist das obere Ende vom mittleren Intervall der ersten Funktion (+½) kleiner als das untere Ende vom mittleren Intervall der zweiten Funktion (t-½) so gibt es keine Überlappung und das Integral ist null. Also für ½ < t-½ oder t>1.

Ist das untere Ende vom mittleren Intervall der ersten Funktion (-½) größer als das obere Ende vom mittleren Intervall der zweiten Funktion (t+½) so gibt es auch keine Überlappung und das Integral ist wieder null. Also für -½ > t+½ oder t<-1.

Ansonsten ist das gemeinsame Intervall -½ bis t+½ für t<0 und t-½ bis +½ für t>0.

Für t<0 (und t>-1) ergibt sich damit
g(t) = ∫[sub]-½ bis t+½[/sub] 1 dτ =
(τ)[sub]-½[/sub][sup]t+½[/sup] = t+½ - (-½) = t+1.

und für t>0 (und t<1)
g(t) = ∫[sub]t-½ bis +½[/sub] 1 dτ =
(τ)[sub]t-½[/sub][sup]+½[/sup] = +½ - (t-½) = 1-t.

Wie man sieht, ein perfektes Dreieck!


So, ich hoffe, das war nicht zu verwirrend und ich hab nicht zu viele Tippfehler reingebaut. Ist ziemlich schwierig, das so zu tippen, häufig ist es leichter das einfach mal aufzumalen.

Wenn was unklar geblieben ist, einfach fragen.


P.S.: Was Du damit übrigens gelernt hast ist:
Die Autokorrelationsfunktion der Rechtecksfunktion ist eine Dreiecksfunktion.
Der Wert an der Stelle 0 ist dabei die Gesamtenergie.
Die Basisbreite (null-zu-null) verdoppelt sich dabei.
Ein Rechteck der Breite 1 ist orthogonal zu sich selbst wenn man es um mindestens 1 verschiebt.

 

[theHacker]

Danke für die Antwort

Integral in verschiedene Intervalle unterteilen hatte ich schon versucht, nur das t-τ hat immer irritiert.

Damit weiß ich jetzt, wie man das rechnerisch löst (grafisch dürfte eh uninteressant sein ). Dank Wikipedia's Links wusste ich ja schon, was rauskommen sollte, nur nicht, wie man dahin kommt.

Jetzt gibts noch ne Funktion h[sub]2[/sub], die ich ned auswendig weiß und dann kann man noch fleißig h[sub]1[/sub] * h[sub]2[/sub], h[sub]2[/sub] * h[sub]1[/sub] (ich liebe Kommutativität) und h[sub]2[/sub] * h[sub]2[/sub] durchrechnen.

Mal gucken, ob ich das morgen hinkrieg

 

[DaPhreak]

Integral in verschiedene Intervalle unterteilen hatte ich schon versucht, nur das t-τ hat immer irritiert.

Ja, darf man sich nich durchnander bringen lassen, im Grunde ist t da nur ein Parameter, könnte auch x heißen. *g*

Damit weiß ich jetzt, wie man das rechnerisch löst (grafisch dürfte eh uninteressant sein ).

Unterschätz die grafischen Ansätze nur nicht. Ich unterrichte unter anderem Signale und Systeme an der Uni und da bringen wir den Studenten immer wieder dabei, dass ein Großteil der Aufgaben sich wesentlich schneller grafisch lösen lässt, als wenn man sich von den Integralen verwirren lässt. Siehst ja, dass das mit den Intervallen und der Fallunterscheidung wuselig ist und die Chance sich da zu vertun hoch. Grafisch sieht man sofort was passiert.

Jetzt gibts noch ne Funktion h[sub]2[/sub], die ich ned auswendig weiß und dann kann man noch fleißig h[sub]1[/sub] * h[sub]2[/sub], h[sub]2[/sub] * h[sub]1[/sub] (ich liebe Kommutativität) und h[sub]2[/sub] * h[sub]2[/sub] durchrechnen.

Ja, da kann man lustige Spielereien machen. Zum Beispiel zwei verschieden lange Rechtecke falten, dann wird ein Trapez draus. Oder mal ein Rechteck über 'nen Impuls mit steilen Flanken jagen, da sieht man dann prima wie das Rechteck als Kurzzeitintegrator wirkt und die Kanten verschleift...

 

[RomanS]

Ich habe da eine Frage zur Faltung, und zwar überlege ich gerade ob bei der Faltung auch der Definitionsbereich gespiegelt wird ?!?

Wäre nett wenn mir jamend die Frage beantworten könnte.

 

[DaPhreak]

Ich habe da eine Frage zur Faltung, und zwar überlege ich gerade ob bei der Faltung auch der Definitionsbereich gespiegelt wird ?!?

Meinst Du im Faltungsergebnis oder im ersten Schritt der Faltung?

Letzteres ja, klar. Ersteres nein, denn so einfach kann man die Definitionsbereiche nicht vergleichen, da das ursprüngliche ja eine Zeitvariable ist (t) und das Faltungsergebnis eher eine Verschiebezeitvariable (τ).

Zum Definitionsbereich des Faltungsproduktes: Wenn x(t) in [0,T] definiert ist und x(t) * x(t) zu bilden ist, dann muss eins der x(t) gespiegelt und zeitverschoben werden. Die gespiegelte Funktion x(-t) ist dann in [-T,0] definiert und die um τ verschobene Funktion x(τ-t) entsprechend in [τ-T,τ]. Dann ist die gemeinsame Fläche zu bilden, die natürlich nur in der Schnittmenge der beiden Definitionsbereiche, also in [max(0,τ-T),min(τ,T)], definiert ist.

Ein sinnvolles Faltungsergebnis gibt es nur solange die Schnittmenge der Definitionsbereiche der einen Funktion und der gespiegelten und verschobenen zweiten Funktion nicht leer ist.

Je nach Originaldefinitionsbereichen ergibt sich damit dann der Definitionsbereich des Faltungsergebnisses. Hier im Beispiel würde wenn ich das jetzt richtig sehe [0,2T] rauskommen.

 

[cook_stat]

Hallo liebe Community!

Ich habe ein ähnliches Problem, aber leider fehlen mir die Kenntnisse über Faltungen...

Und zwar habe ich eine lineare Regression mit zwei Variablen, die leider auch eine gewisse Korrelation untereinander aufweisen.

Die Gleichung ist also

y=a+b*x1+c*x2+e

Die Verteilungsdichten für x1, x2 und den Störterm e und die Korrelation zwischen x1 und x2 kenne ich.

Jetzt will ich die Dichte von y analytisch errechenen, habe aber leider keine Idee, wie ich hier vorgehen kann. Über jede Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar.

Viele Grüße!

 

[DaPhreak]

Ich würde zuerst mal die Dichte von Z = b*X[sub]1[/sub] + c*X[sub]2[/sub] berechnen. Danach ist Y = a + Z + d*E und da Z und E unabhängig sind (richtig?) musst Du dann "nur noch" die Dichten von Z und d*E falten und das Ergebnis um a verschieben.

Das trickreiche ist also der erste Schritt. Ich lass der Einfachheit halber mal b und c weg, Skalierung ist ja leicht. Was Du brauchst ist die Verbunddichtefunktion f[sub]X[sub]1[/sub],X[sub]2[/sub][/sub](x[sub]1[/sub],x[sub]2[/sub]). Wenn Du die hast, dann kannst Du die Dichte von Z = X[sub]1[/sub] + X[sub]2[/sub] berechnen über

f[sub]Z[/sub](z) = ∫ f[sub]X[sub]1[/sub],X[sub]2[/sub][/sub](z-x,x) dx.

Du schreibst Du kennst die Verteilungen von X[sub]1[/sub] und X[sub]2[/sub] und die Korrelation. Kannst Du daraus denn die Verbunddichte konstruieren (hängt davon ab welche Verteilung man hat würde ich sagen)?


P.S.: Falls X[sub]1[/sub] und X[sub]2[/sub] Gaussverteilt sein sollten, ist die Sache ganz wesentlich einfacher, da die Summe dann wieder Gaussverteilt ist. Die Korrelation fließt dann einfach ein in die Berechnung der Varianz der Summe.