[Mathe] fa(x)=x*(a - lnx) Kurvendiskussion der Schar

[Geegle]

Hallo,

ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen, es ist jedoch lange her, dass ich Logarithmusfunktionen hatte. Dementsprechend schwer fällt es mir auch. Vielleicht kann mir der ein oder andere einen Gedankenanstoß geben.

Was ich gerechnet habe, steht immer unter der Aufgabenstellung.

Danke!


Aufgabe:

Gegeben ist die Kurvenschar fa(x)=x * (a - lnx), a > 0 und x > 0

a) Bestimmen Sie Ableitungen fa' und fa''.

1. Ableitung - Produktregel (fa'(x)= u * v' + u' * v).
fa'(x)= a - lnx - 1

2. Ableitung - normale Ableitungsregel
fa''(x)= - 1 / x

b) Untersuchen Sie fa auf Nullstellen

fa(x) muss zu null gesetzt werden

0 = x * (a - lnx)
--> 0 = x 1. NS entfällt, da x > 0

--> 0 = a - lnx --> lnx = a --> loge x = a
--> x = e ^ a 2. NS ist immer größer als 0 daher exisitert sie.

c) Bestimme Sie den Extremalpunkt von fa. Zeigen Sie, dass fa keine Wendepunkte besitzt.

Für Extremalpunkte werden 1. und 2. Ableitung gebraucht. Zuerst 1. Ableitung null setzen.

fa'(x)= a - lnx - 1
--> 0 = a - lnx - 1 --> lnx = a -1 --> x = e ^ a - 1
--> x = e ^ a - 1 wäre dann also die Extremstelle

Extremstelle in 2. Ableitung einsetzen, um zu testen ob Max- oder Minstelle.

fa''(x)= - 1 / x --> fa''(x)= - 1 / e ^ a - 1
alle Werte von e sind immer positiv, egal welche Werte a hat
--> fa''(x) < 0 --> lokale Maximusstelle (Hochstelle)

y-Wert ausrechnen

fa(x)= x * (a - lnx)
fa(x)= e ^ a - 1 * (a - ln e * (a - 1))
fa(x)= e ^ a - 1 * (a - (a - 1))
fa(x)= e ^ a - 1

Hochpunkt ( e ^ a - 1 | e ^ a - 1 )


Es gibt keine Wendepunkte, da die notwendige Bedingung fa''(x)= 0 für keine Stelle von x erfüllt ist.

fa''(x)= - 1 / x mit x > 0

d) Prüfen Sie durch Testeinsetzungen, wie sich die Funktion f1 für x->unendlich bzw. x->0 verhält.

f1(x)= x * (1 - lnx)

x -> 0

Für x -> 0 strebt die Funktion gegen 0.


x -> unendlich

f1(x)= unendlich * (1 - ln(unendlich))
f1(x)= unendlich - größeres unendlich
f1(x)= - unendlich

Für x -> unendlich strebt die Funktion gegen - unendlich.

e) Skizzieren Sie den Graphen von f1 und f2 für 0<x<8

Koordinatensystem mit beiden Graphen zeichnen

f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von fa.

fa(x)=x * (a - lnx)
fa(x)=x * a - x * lnx

Fa(x)=1/2 * x * a - 1/2 * x * (x * lnx - x) + c
Fa(x)=1/2 * x (a - (x * lnx - x)) + c

g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1.Quadranten von dem Graphen von f1, der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f umschlossen wird.

h) Geben Sie den Inhalt der Fläche, die im 1.Quadranten von dem Graphen von fa, und den Koordinatenachsen begrenzt wird, in Abhängigkeit von a an.

 

[asra]

c) Bestimme Sie den Extremalpunkt von fa. Zeigen Sie, dass fa keine Wendepunkte besitzt.

An dem Extremalpunkt dse Graphen ist die Tangete waagerecht. (An der Stelle hat der Graph also die Steigung 0.) Diese Stelle bekommst du in dem du fa'(x) = 0 setzt.

Bei einem Wendepunkt ist die Änderung der Steigung (welche durch f'' angegeben wird) gleich 0. Setze also f'' = 0. Hier eindeutig undefinierbar, da 1:0



d) Prüfen Sie durch Testeinsetzungen, wie sich die Funktion f1 für x->unendlich bzw. x->0 verhält.

Hier einfach "ganz" große und kleine Werte für x einsetzen. (f1 bedeutet hier wohl a=1)

e) Skizzieren Sie den Graphen von f1 und f2 für 0<x<8

Hier einfach ein paar Werte einsetzen und dann malen...sollte nicht das Problem sein?!

f) Zeigen SIe durch Differentaition, dass Fa(x)=a*x^2/2 + x^2/4 - x^2/2 *lnx eine Stammfunktion von fa ist.

Hier gibt es zwei Wege, 1.) Deine Funktion integrieren, oder 2.) Diese hier gegebene Funktion ableiten.

edit: Ich sehe gerade Hier bleibt dir nur der 2.) Weg, da so vorgegeben. Ich lass's dennoch mal als Idee stehen.


g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die ime 1.Quadranten von dem Graphen von f1, der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f umschlossen wird.

Kann ich leider gerade nicht erläutern, Aber du brauchst ein Integral (in f) gegeben) und deine Grenzen auf der X-Achse.

Habe nun nicht kontrolliert was du gemacht hast, da ich eifnach schon lange raus bin aus der Rechnerei und ich mich da erst wieder reinfinden müsste. Hoffe ich konnte dennoch helfen.

Asra

 

[Geegle]

Wow, danke für die schnelle Antwort.

Ich rechne es mal durch.

 

[Tidus9]

g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1.Quadranten von dem Graphen von f1, der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f umschlossen wird.

Wenn ich das richtig sehe, musst du dort das Integral deiner Funktion f1 bilden, allerdings in den Grenzen von 0 (gibt dir die Information "x-Achse und 1. Quadrant an) und soll bis zu dem Punkt der senkrechten Gerade. Der X-Wert deines Hochpunktes ist dann auch die zweite Grenze. Zugegeben, dafür ist ein bisschen Vorstellungskraft erforderlich, aber die Rechnung ist ganz simpel.

 

[Geegle]

g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1.Quadranten von dem Graphen von f1, der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f umschlossen wird.

Also Integral von f1 in den Grenzen von 0 bis e ^ a - 1.
Dabei ist zu beachten, dass 0 nicht definiert ist, nehme ich mal k als Grenzwert an. e ^ a - 1 für a = 1 ist e ^ 0 und das ist 1.

Also Integral von f1(x) in den Grenzen von k bis 1.

A = [1/2 * x ^ 2 - 1/2 * x ^ 2 * (x * lnx - x)] von k bis 1
A = [1/2 * 1 ^ 2 - 1/2 * 1 ^ 2 * (1 * ln1 - 1)] -
lim von k -> 0 [1/2 * k ^ 2 - 1/2 * k ^ 2 * (k * lnk - k)]

--> A = 1/4 - 0 --> A = 1/4