[Mathe] dreifache Klammern auflösen?

[Snowwolf]

Hallo,

habe ein Riesenproblem, wie löse ich denn 3 mit einander verbundene Klammern auf?

Könnt Ihr mir das vllt an Hand vom Beispiel: (x-3) * (x-2) * (x+6) erklären? Und wie verhält es sich, wenn ich jetzt noch einen Faktor, z.B 1/27 vor die erste Klammer schreibe? Also 1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6). Ich wäre sehr dankbar für Eure Hilfe.

LG Snow

 

[Abel]

Rechne erstmal (x-3)(x-2)=x^2-2x-3x+6=x^2-5x+6.
Dann (x^2-5x+6)(x+6) und zum Schluß mit 1/27 multiplizieren.
Also Schritt für Schritt. Dies ist erstmal am einfachsten.
Tipp: Das Polynom hat 3 Nullstellen und zwar x=3 oder x=2 oder x=-6.
Damit kannst du deine Rechnung kontrollieren.

 

[flaschenkind]

Tipp: Das Polynom hat 3 Nullstellen und zwar x=3 oder x=2 oder x=-6.
Damit kannst du deine Rechnung kontrollieren.

Woher weißte denn, dass 0 rauskommen soll? Es ist ja nur ein Term, der umgeformt werden soll. Und um das zu prüfen müsstest du nur eine x-beliebige Zahl in beide Terme eintragen und gucken, ob das gleiche rauskommt.

 

[AndyH]

Es ist egal, in welcher Reihenfolge du die Klammern ausmultiplizierst. Schau dir mal die Rechenregeln (z.B. hier) nochmal an.

 

[Abel]

Woher weißte denn, dass 0 rauskommen soll? Es ist ja nur ein Term, der umgeformt werden soll. Und um das zu prüfen müsstest du nur eine x-beliebige Zahl in beide Terme eintragen und gucken, ob das gleiche rauskommt.

Ich habe nur die Nullstellen einfach just for fun angegeben. Die Nullstellen sind ja klar ablesbar. Nämlich wenn eine Nullstelle nicht passt, hat er sich verrechnet.

1) (x-3)(x-2)=x^2-2x-3x+6=x*x+(-2)x+(-3)x+(-3)(-2)=x^2-5x+6
2) (x^2-5x+6)(x+6) = x^2*x+6x^2+(-5x)x+6(-5x)+6x+36=x^3+x^2-24x+36
3) 1/27(x^3+x^2-24x+36)=x^3/27+x^2/27-24x/27+36/27=x^3/27+x^2/27-8x/9+4/3

Lösung ohne Gewähr!

 

[theHacker]

Um drei Klammern mit Vorfaktor auf einen Schlag auszurechnen, gibts n Trick:
Pünktchen über die Terme machen.

In jeder Klammer sind 2 Einzelterme, 3 Klammern, also müssen am Ende 2[sup]3[/sup] = 8 Terme rauskommen, die dann alle mit dem Vorfaktor noch multipliziert werden müssen.

Leg dir ein System zu, am einfachsten "Von links nach rechts in der Klammer. Klammern von hinten nach vorne". Der Vorfaktor wird immer mitgenommen.

1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = 1/27*x[sup]3[/sup]

Pünktchen auf die rotmarkierten Terme machen.

....... ....... . ..... .
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6)

Jetzt in der hintersten Klammer von links nach rechts durchgehen.
Vorfaktor ggf. gleich im Kopf kürzen.

1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = ... + 2/9*x[sup]2[/sup]

....... :...... : ..... . .
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6)

Bist du mit einer Klammer "durch", kannst also nicht mehr weiter nach rechts gehen, nimmst du die nächst-linke Klammer, "zählst" dort einen Term nach rechts und "resettest" alle Klammern, die rechts davon stehen, d.h. dort wieder links anfangen.

....... :...... : ..... . .
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = ... - 2/27*x[sup]2[/sup]

....... ...............
....... :...... : ..... : .
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = ... - 4/9*x

....... :..............
....... :...... : :.... : :
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6)

Die zweite Klammer is durch, also jetzt an der ersten Klammer weiterrücken. Alle Klammern rechts davon wieder von vorne anfangen.
Kontrolle: in jeder Klammer sind jetzt 2[sup]2[/sup] = 4 Pünktchen.

....... :..............
....... :...... : :.... : :
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = ... - 1/9*x[sup]2[/sup]

 

[theHacker]

(nicht wundern, hab wegen Formatierung und 20k-Zeichenbeschränkung doppelposten müssen)

....... :.................
....... :...... : :.... : :
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = ... - 2/3*x

Mittlere Klammer rücken, rechte "resetten".

....... :.......:...........
....... :.:.... : :.... : :
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = ... + 2/9*x

....... :.......:.......:...
....... :.:.... : :.... : :
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = ... + 4/3

Kontrolle: Jeder Term wurde genau 2[sup]2[/sup] = 4 mal benutzt:
....... :.:.....:.:.....:.:.
....... :.:.... : :.... : :
1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6)

Am Ende noch vereinfachen und fertig.


Noch eine Anmerkung zu dem Durchzählen. Stelle dir das einfach wie ein Zählen im Zweiersystem vor. 0 entspricht "linken Term", 1 entspricht "rechten Term":
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

Deshalb kann man auch die Anzahl der Endterme durch 2[sup]3[/sup] bestimmen.

 

[MrToiz]

Uffz, dreimal musste ich mir das jetzt durchlesen, um es zu verstehen

Die Erklärung mit den Dualzahlen würde ich aber weglassen, weil das System ja auch funktioniert, wenn in der Mitte mal eine Klammer mit 3 (oder mehr) Termen steht.
Dementsprechend muss man einfach die Anzahl der Terme je Klammer miteinander multiplizieren, um auf die endgültige Anzahl "Pünktchen" zu kommen.

Aber wenn man das ganze vielleicht noch tabellarisch macht, so dass man nicht für jede Zeile die komplette Rechnung aufschreiben muss, scheint mir das eine riesen Zeit-Ersparnis. Vielen Dank für diesen Tipp!

 

[theHacker]

Uffz, dreimal musste ich mir das jetzt durchlesen, um es zu verstehen

Hauptsache, du hast es kapiert. Haben wir damals in der Schule so gelernt, zwar nur für (a+b)(c+d), aber das System tuts auch für mehr.

Die Erklärung mit den Dualzahlen würde ich aber weglassen, weil das System ja auch funktioniert, wenn in der Mitte mal eine Klammer mit 3 (oder mehr) Termen steht.

War in diesem Fall nur gedacht, ums nochmal anders zu erklären, falls oben einer mit meiner "links nach rechts, resetten & co"-Erklärung nicht durchblickt.

Du kannst natürlich beliebig viele Terme in einer Klammer und auch beliebig Klammern haben, wobei bei 4 Klammern es sich schon anbietet, je 2 miteinander zu verarbeiten und vor dem kompletten Ausmultiplizieren dann je noch einmal zusammenzufassen.

[...] für jede Zeile die komplette Rechnung aufschreiben muss [...]

Am Ende hast du nur eine Zeile dastehen. Der Rest geht im Kopf!

Sieht dann auf Papier so aus:

 

[MrToiz]

Naja, bei langen Berechnungen geht da doch die Übersicht flöten und Debuggen wird auch schwer, wenn man am Ende feststellt dass es nicht aufgeht^^
Ich meinte das inetwa so:

1/27 * (x-3) * (x-2) * (x+6) = 
        .       .       .      + 1/27*x³
        .       .         .    + 2/9 *x²
        .         .     .      - 2/27*x²
        .         .       .    - 4/9 *x
usw.

Handschriftlich natürlich deutlich einfacher als am PC^^

Braucht halt etwas mehr Papier als dein Einzeiler, aber nicht mehr Tinte