[Mathe] Berechnung am Kreis

Was mich bei der Aufgabe wundert:
Die 4 kleinen Halbkreise haben jeweils den Flächeninhalt 05*[PI]*r² = 0,5*[PI]*4
Da es 4 sind, haben sie zusammen ungefähr eine Fläche von 25,1 cm²
Das Quadrat hat eine Fläche von 64cm². Das macht minus die kleinen Kreise ca. 38,8 cm².
Nur dann kann die Lösung doch so nicht mehr stimmen oder?
 
dhief schrieb:
Was mich bei der Aufgabe wundert:
Die 4 kleinen Halbkreise haben jeweils den Flächeninhalt 05*[PI]*r² = 0,5*[PI]*4
Da es 4 sind, haben sie zusammen ungefähr eine Fläche von 25,1 cm²
Das Quadrat hat eine Fläche von 64cm². Das macht minus die kleinen Kreise ca. 38,8 cm².
Nur dann kann die Lösung doch so nicht mehr stimmen oder?
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Stimmt irgendwie -.- die 38,8 cm² stimmen, aber die Lösung auf der Seite nicht.
 
dhief schrieb:
Was mich bei der Aufgabe wundert:
Die 4 kleinen Halbkreise haben jeweils den Flächeninhalt 05*[PI]*r² = 0,5*[PI]*4
Da es 4 sind, haben sie zusammen ungefähr eine Fläche von 25,1 cm²
Das Quadrat hat eine Fläche von 64cm². Das macht minus die kleinen Kreise ca. 38,8 cm².
Nur dann kann die Lösung doch so nicht mehr stimmen oder?
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radius der kleinen kreise ist 2cm.
 
Jo, das mit der oben ausgerechneten Fläche der kleinen Kreise stimmt nicht. Das sind (4 Halbkreise) 4 * 1/2 * (1/2 * PI * r^2). r = 2. => 4 * 1/2 * 1/2 * PI * 4 = 4 * PI = 12,5664

Und wie man die größeren Halbkreise berechnet:
Man schaue sich ein Eck an und und stelle sich eine Verbindung zwischen dem Mittelpunkt des kleinen Halbkreises und dem Mittelpunkt des größeren Halbkreises vor. Dann haben wir ein Dreieck mit den Seitenlängen 2 (Mittelpunkt klein bis Eck), 4 (Mittelpunkt groß bis Eck) und 2 (Radius klein) + Radius groß. Über den Pytagoras kommt man dann auf

2² + 4² = (2 + r)²
20 = 4 + 4r + r²
r² + 4r - 16 = 0
r1/2 = -4/2 +- Wurzel((-4/2)² + 16)
= -2 +- Wurzel(20)
r1 = -2 - Wurzel(20) = unsinnig, da hier noch positive Radien möglich wären
r2 = -2 + Wurzel(20) = 2,472

Die zwei großen Halbkreise: 2 * 1/2-Kreis * (1/2 * PI * 2,472²) = 9,6

Weiße Fläche:
8*8 - 12,5664 - 9,6 = 41,8336

Unterscheidet sich etwas vom Musterergebnis, aber ich wüsste nicht wo ich mich groß Verrechnet haben könnte..
 
joschilein schrieb:
Jo, das mit der oben ausgerechneten Fläche der kleinen Kreise stimmt nicht. Das sind (4 Halbkreise) 4 * 1/2 * (1/2 * PI * r^2). r = 2. => 4 * 1/2 * 1/2 * PI * 4 = 4 * PI = 12,5664
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4 --> 4 Halbkreise, 1/2 --> Halbkreis, r²*PI --> Flächenformel für den Kreis. Aber woher nimmst du denn bitte das zweite 1/2? Sooft ich es mir anschaue, sooft verstehe ich es nicht. ;)

joschilein schrieb:
Und wie man die größeren Halbkreise berechnet:
Man schaue sich ein Eck an und und stelle sich eine Verbindung zwischen dem Mittelpunkt des kleinen Halbkreises und dem Mittelpunkt des größeren Halbkreises vor. Dann haben wir ein Dreieck mit den Seitenlängen 2 (Mittelpunkt klein bis Eck), 4 (Mittelpunkt groß bis Eck) und 2 (Radius klein) + Radius groß.
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Ja, so wäre ich auch vorgegangen. Aber mir fehlt hier noch der Beweis, dass der Berührpunkt der beiden Kreise auf dieser Strecke liegt, da dies für deine Annahme nötig ist. Und momentan weiß ich auch nicht, wie sich das beweisen lässt... :(
Habs grade mit Photoshop mal gezeichnet und es liegt nah, aber das langt ja bekanntlich in Mathe nicht aus. :p
 
dhief schrieb:
Was mich bei der Aufgabe wundert:
Die 4 kleinen Halbkreise haben jeweils den Flächeninhalt 05*[PI]*r² = 0,5*[PI]*4
Da es 4 sind, haben sie zusammen ungefähr eine Fläche von 25,1 cm²
Das Quadrat hat eine Fläche von 64cm². Das macht minus die kleinen Kreise ca. 38,8 cm².
Nur dann kann die Lösung doch so nicht mehr stimmen oder?
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Das habe ich auch raus. Kann ich nur zustimmen. Irgendwas stimmt mit der Lösung nicht.

dhief schrieb:
4 --> 4 Halbkreise, 1/2 --> Halbkreis, r²*PI --> Flächenformel für den Kreis. Aber woher nimmst du denn bitte das zweite 1/2? Sooft ich es mir anschaue, sooft verstehe ich es nicht. ;)

Ja, so wäre ich auch vorgegangen. Aber mir fehlt hier noch der Beweis, dass der Berührpunkt der beiden Kreise auf dieser Strecke liegt, da dies für deine Annahme nötig ist. Und momentan weiß ich auch nicht, wie sich das beweisen lässt... :(
Habs grade mit Photoshop mal gezeichnet und es liegt nah, aber das langt ja bekanntlich in Mathe nicht aus. :p
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Was er rechnet verstehe ich auch nicht wirklich.

Es sind doch quasi 2 kleine Kreise mit r=2, 1 großer Kreis mit r=? und dann nen Quadrat mit ner Fläche von 64 (Einheiten lasse ich mal weg).

Die Formel für nen Kreis ist ja wie schon erwähnt:
A = r² * pi
Für einen der kleinen Kreise damit:
Akreisklein = 2² *pi = 4 * 3,14
Akreisklein = 12,5563
Da wir zwei kleine Kreise haben, macht das 25,1327.
Zieht man das schonmal von den 64 ab, dann bleiben nur gut 38,8 über, was schon weniger als die Lösung ist.

Unter der Annahme, dass die großen Halbkreise die maximal mögliche Fläche einnehmen, dann berühren sich die kleinen und großen Halbkreise tatsächlich auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte und die hier schon vorhandene Rechnung für den Radius der großen Halbkreise stimmt mit: rgroß=2,472

Damit ist die Fläche für die beiden großen Halbkreise, die ich als großen Kreis sehe:
Agroßkreis = 2,472² * 3,14
Agroßkreis = 19,1991

Damit bleibt für die helle Fläche:
Ahell = Aquadrat - 2*Akleinkreis - Agroßkreis
Ahell = 64 - 25,1327 - 19,1991
Ahell = 19,6682

Und wenn man sich die Zeichnung mal einfach anguckt, dann kommt es doch wohl auch eher hin, dass knapp zwei dritte der Fläche bedeckt ist, also nur 1/4 wie es die Lösung aussagt.

Aber bin mal auf weitere Rechnung gespannt.
mfg Haumann
 
Zuletzt bearbeitet:
Also erstmal danke für die Antworten. Ich hab mir das gerade nochmal alles durchgelesen und verstanden, wie ich auf den Radius der großen Kreise komme!! Das hilft mir wirklich weiter!!
Und die Rechnungen sollten alle korrekt sein - hab die auch nochmal nachgeprüft!!!
Wahrscheinlich ist die Lösung auf der Seite eben falsch ;) !! Kann ja nicht sein, dass wir alle zu dumm sind :ugly: !!

Danke für eure Hilfe :biggrin:
 
Ich muss gestehen, dass ich in die Kreisflächenformel ein 1/2 zu viel eingebaut habe :oops:. Irgendwie hat da wohl der Kreisumfang mit reingespielt.

Die Herleitung des Radius der großen Halbkreise ist übrigens 100%ig richtig. Beweis: Der große Halbkreis soll sich an die kleinen Halbkreise anlehnen. Die Summe beider Radien muss daher genau so lange sein wie der Abstand der (Halb)Kreismittelpunkte. Die Strecke zwischen den Mittelpunkten entspricht gerade der Hypotenuse des beschriebenen Dreiecks.
Gegenbeweis: Wäre die Summe der Radien größer als der Abstand die Strecke zwischen den Mittelpunkten, dann gäbe es zwei Schnittpunkte der Kreisumfänge, wäre die Summe kleiner gäbe es gar keinen Schnitt-/Berührpunkt.

Mit etwas Mühe kann man das ganze auch besser veranschaulichen und ausrechnen lassen:

(Hier erstellt, wer dran noch rumspielen will kann von mir die *.ggb Datei bekommen)

Ergebnis: Die freie Fläche beträgt 23,33 cm²
 
joschilein schrieb:
Mit etwas Mühe kann man das ganze auch besser veranschaulichen und ausrechnen lassen:

(Hier erstellt, wer dran noch rumspielen will kann von mir die *.ggb Datei bekommen)

Ergebnis: Die freie Fläche beträgt 23,33 cm²
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Also bei deiner Gesamtfläche kann ich dir leider nicht zustimmen.
Das Bild ist endlich mal ne super Darstellung die Anzeigen links sind auch gut, aber eine Sache verstehe ich nicht ganz.
Wenn die großen Halbkreise 2,47cm als Radius haben, wie kann dann die Fläche jeweils 7,77cm² sein? Ein Kreis mit 2,47cm Radius hat A = (2,47cm)² *PI = 19,166cm² Fläche. Der Halbkreis damit 9,583cm² Fläche.
Wo kommen bitte die 7,77cm² her?

Und damit ist die freie Fläche 19,6682cm² groß.
mfg Haumann
 
Stimmt.. wenn man nicht alles selbst nochmal nachrechnet :(

Bei den (Voll)Kreisen kann man die Gleichung wechseln, ich meine das ging auch mal bei den Halbkreisen (Bögen), aber das taucht nicht mehr zum umstellen auf
 
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