Mathe Kovarianz / Gemeinsame Verteilung binomialverteilter Zufallsvariablen

[Bart]

Hallo.

Gegeben sind zwei binomialverteilte Zufallsvariablen X~Bin(n,p) und Y~Bin(n,q). Dazu suche ich die gemeinsame Verteilung (X,Y), also im Prinzip P(X=x, Y=y).
Zur Erläuterung: das Endziel ist es, cov(X_i,X_j) für die (jeweils binomialverteilten) Komponenten X_i eines multinomialverteilten Zufallsvektors zu bestimmen. Alternativ ginge also auch ein Beweis für cov(X_i,X_j)=-npq oder für E(XY)=n(n-1)pq.
Freue mich über jede Antwort.


Viele Grüße,

Bart


*edit: Alles geklärt... kA wie ich den Beitrag lösche.

 

[DaPhreak]

*edit: Alles geklärt... kA wie ich den Beitrag lösche.

Gar nicht, hier wird nicht rumgelöscht.

Verrat uns doch lieber allen die Lösung?

Wenn sie unabhängig sind wäre ja die Verbunddichte einfach das Produkt der Randdichten, also
P(X=x[sub]i[/sub], Y=y[sub]i[/sub]) = P(X=x[sub]i[/sub]) * P(Y=y[sub]i[/sub]).

Da Du aber etwas von Kovarianz schreibst, nehme ich an sie sind nicht unabhängig? Wie ist deren Korrelation denn modelliert?

 

[Bart]

Okay, hier die Lösung:


Sei der Zufallsvektor X=(X_1,...,X_r) multinomialverteilt mit Parametern n und p=(p_1,...,p_r).
Dann sind die einzelnen Komponenten X_i binomialverteilt mit Parametern n und p_i. Man kommt nämlich mit Hilfe des multinomischen Lehrsatzes auf P(X_i=k)=(n über k)(p_i)^k(1-p_i)^(n-k).

Damit wir nicht zu viele Indizes bekommen, seien X und Y zwei (verschiedene) dieser Komponenten und deren Parameter p und q. Also X~Bin(n,p) und Y~Bin(n,q).

Zu bestimmen ist die Kovarianz von X,Y:

cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EXEY

Die letzte Gleichung lässt sich relativ leicht nachrechnen.
Die Erwartungswerte EX und EY kennen wir: EX=np, EY=nq.

Also brauchen wir E(XY). Dazu stellen wir X bzw. Y als Summe von Bernoulli-Verteilungen dar:

X=sum(X_i), Y=sum(Y_j) mit X_i~Ber(p), Y_i~Ber(q)

Dann ist wegen der Linearität des Erwartungswertes

E(XY) = E( \sum_(i,j) X_iY_j ) = \sum_(i,j) E(X_iY_j)
= \sum_(i != j) E(X_iY_j) + \sum_(i=j) E(X_iY_j)
= n(n-1)pq + 0

Die erste Summe besteht aus n(n-1) Summanden, die alle gleich pq sind.
Die zweite Summe ist 0, da die Zufallsvariablen X und Y (, die ja verschiedene Komponenten eines multinomialverteilten Vektors sind) disjunkte Ereignisse beschreiben.

Damit gilt dann (jetzt wieder mit den alten Indizes)

cov(X_i,Y_j) = n(n-1)pq - n²pq = -npq,

was zu zeigen war.