Grenzwerte n->+oo

[asra]

Hallo, ich habe mal wieder ein paar mathematische Fragen:

und zwar ist jeweil der Grenzwert von n gegen plus unendlich gesucht.

1.) (3n²+4n+7) / (n²+5n+6)

Hier habe ich einfach das n² aus der Klammer gezogen und gekürzt. Somit gehen die hinteren beiden Summanden ja gegen Null und als Grenzwert bleibt 3 über. Richtig?

2.) (n²+4n)*e^(-n)

So, ab nun fängt meine unsicherheit an. 1.) Ist es das gleiche wie (n²+4n) / e^n ? ja oder?
Falls ja, darf ich ja nun beides ableiten macht (2n+4) / e^n . Das ganze nochmal macht 2/e^n . Da e^n gegen plus unendlich geht, geht der Bruch gegen 0 Richtig?

3.) [(1+2n)e^(-n) + 3n²e^(-2n)] / [(5+4n)e^(-n)]

Hmm, als erstes e^(-n) kürzen macht:
[(1+2n) + 3n²e^(-n)] / [(5+4n)]

Darf ich nun einfach 3n²e^(-n) "weglassen" , weil e^(-n) gegen Null geht und der Summand somit Numm wird?

Falls ja, kann ich ja nun n aus der Klammer ziehen und als Grenzwert bleibt 2/4 also 0,5 stehen. Richtig?


Ich bin mir einfach nicht sicher, ob ich hier "erlaubte" Methoden angewand habe, oder ob ich irgendwo Fehler einbaue. Wäre super, wenn das jemand bestätigen oder mir die Fehler aufzeigen könnte. Danke, Gruß

 

[Pontius]

Hallo, ich habe mal wieder ein paar mathematische Fragen:

und zwar ist jeweil der Grenzwert von n gegen plus unendlich gesucht.

1.) (3n²+4n+7) / (n²+5n+6)

Hier habe ich einfach das n² aus der Klammer gezogen und gekürzt. Somit gehen die hinteren beiden Summanden ja gegen Null und als Grenzwert bleibt 3 über. Richtig?

exakt

2.) (n²+4n)*e^(-n)

So, ab nun fängt meine unsicherheit an. 1.) Ist es das gleiche wie (n²+4n) / e^n ? ja oder?

jupp - und deshalb ist auch folgender Gedankengang richtig:

Falls ja, darf ich ja nun beides ableiten macht (2n+4) / e^n . Das ganze nochmal macht 2/e^n . Da e^n gegen plus unendlich geht, geht der Bruch gegen 0 Richtig?

genau, der Bruch 2 / e^n konvergiert gegen 0, wenn n gegen +oo läuft

3.) [(1+2n)e^(-n) + 3n²e^(-2n)] / [(5+4n)e^(-n)]

Hmm, als erstes e^(-n) kürzen macht:
[(1+2n) + 3n²e^(-n)] / [(5+4n)]

Darf ich nun einfach 3n²e^(-n) "weglassen" , weil e^(-n) gegen Null geht und der Summand somit Numm wird?

der Grenzwert von 3n²e^(-n) konvergiert gegen Null hier Achtung: in diesem Beispiel ist der Grenzwert von +oo * 0 = 0 bzw. +oo/+oo = 0 - aber das ist nicht immer so (Regeln von l'Hospital). Hier gilt auch wieder: zweimal ableiten, dann kommt man auf 6 / e^, was dann gegen 0 konvergiert

Falls ja, kann ich ja nun n aus der Klammer ziehen und als Grenzwert bleibt 2/4 also 0,5 stehen. Richtig?


Ich bin mir einfach nicht sicher, ob ich hier "erlaubte" Methoden angewand habe, oder ob ich irgendwo Fehler einbaue. Wäre super, wenn das jemand bestätigen oder mir die Fehler aufzeigen könnte. Danke, Gruß

ist korrekt


€dit: rot eingefügt

 

[DaPhreak]

Ich stimme meinem Vorposter zu. Nur noch ergänzend angemerkt:

3.) [(1+2n)e^(-n) + 3n²e^(-2n)] / [(5+4n)e^(-n)]

Hmm, als erstes e^(-n) kürzen macht:
[(1+2n) + 3n²e^(-n)] / [(5+4n)]

Darf ich nun einfach 3n²e^(-n) "weglassen" , weil e^(-n) gegen Null geht und der Summand somit Numm wird?

Man kann den Bruch jetzt auch in 2 Terme aufspalten dann sieht man es besser:

[(1+2n) + 3n[sup]2[/sup]e[sup]-n[/sup]] / [(5+4n)]

= (1+2n)/(5+4n) + 3n[sup]2[/sup]e[sup]-n[/sup] / (5+4n)


Für den ersten Term argumentiert man jetzt so wie in Aufgabe 1) und bekommt 2/4 = 1/2.

Für den zweiten Term kann man genauso wie in Aufgabe 2) argumentieren:

3n[sup]2[/sup]e[sup]-n[/sup] / (5+4n)
= 3n[sup]2[/sup] / [(5+4n)e[sup]n[/sup]]

Jetzt ist es in der Form ∞/∞ und man darf L'Hospital anwenden.

Einmal differenzieren liefert 6n / [(9+4n)e[sup]n[/sup]], immer noch ∞/∞.
Zweimal differenzieren dann 6 / [(13+4n)e[sup]n[/sup]] und damit geht der Term gegen Null.

 

[chaosplanet]

Frage wurde ja schon hinreichend beantwortet. Aber als kleinen Tipp noch, zur schnellen Grenzwertbestimmung bei der ersten Aufgabe:

Wenn du einen Bruch hast, bei dem die Polynome oben und unten den gleichen Grad haben, ist der Grenzwert der bruch der Koeffizienten vor den höchsten Potenzen.

Also:
[(a1)n²+(b1)n+(c1)] / [(a2)n²+(b2)n+(c2)]

lim(n->+oo) = (a1)/(a2)

 

[asra]

danke euch allen