Französisches Paradoxon (e-Funktionen / integrieren von e-Funktionen (?))

[Hotwave]

Konkret geht es um eine Aufgabe des Mathekalenders 2008.

Wenn ich die gegebenen Werte einsetze, so habe ich folgende Funktionen:

(1) p(x) = 0,2 * (e^-x)

(2) q(x) = 0,25 * e^(x/3)

So sehen die beiden Funktionen aus.

Mir fehlt jedoch nun ein Ansatz bzw. überhaupt eine Idee, was ich da rechnen muss.
Meine spontane Idee beim betrachten das Schaubildes war, dass die Fläche (also das Integral) berechnet werden muss (unter dem Schnittpunkt der beiden Kurven die Fläche).

 

[BuddyJesus]

Hmm...
Am Ende der Aufgabenstellung sind ja einige Antwortmöglichkeiten gegeben.
Wenn ich mir die anschaue und mit der Fläche unter dem Schnittpunkt bis zur x-Achse vergleiche, glaube ich nicht, dass das Integral groß genug wäre, um einen der vorliegenden Werte anzunehmen.

Ist aber nur eine Vermutung aus dem Bauch heraus.

Für mich sieht das eher nach einer Extremwertaufgabe aus.
Denn gesucht ist die Stelle, also der x-Wert, an dem p(x) einen möglichst hohen y-Wert annimmt und q(x) einen kleinen.

Weshalb ich nicht über das Integral, sondern über die Ableitungen gehen würde.

(Ebenfalls nur eine grobe Vermutung.)

 

[Hotwave]

Da (1) die Menge in Litern angibt, dachte ich, das könnte in etwa hinhauen.
Ich überlege mal weiter...

...so, mit Hilfe von 2 Freunden haben wir die Aufgabe gelöst:
Mit der Vermutung, dass ein Extremwert gesucht ist, hast du Recht gehabt. Man muss beide Funktionen addieren und davon den Extremwert berechnen, dann kommt man auf ~0,657 also 657 ml.

Nur eine kurze, knappe und schlüssige Begründung für den Rechenweg fehlt mir noch Kann da vielleicht wer helfen?

Wir haben uns gedacht, dass es im Grunde 2 "Risiken" sind (1x zu viel trinken, 1x zu wenig trinken), wenn man das beides addiert dann hat man das Optimum.

 

[BuddyJesus]

Das klingt schlüssig.
Na, dann kann ich ja zufrieden ins Bett gehen

Ich finde eure Erklärung zum Rechenweg schon recht plausibel und würde es daher auch so begründen.

 

[DaPhreak]

Ich hätte als Zufallsexperiment verstanden:


Es gibt das Ereignis A: "Herzkreislauferkrankung bekommen". Die Wahrscheinlichkeit für A ist p(x).

Es gibt das Ereignis B: "Leberkrankheit bekommen". Die Wahrscheinlichkeit für B ist q(x).

Das Ereignis K: "Krank werden" entspricht A oder B.

Das Gegenereignis dazu ist "Gesund bleiben" und entspricht nicht A und nicht B.

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit von nicht K minimieren.

Da A und B unabhängig zu sein scheinen, kann man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

P(nicht K) = (1-p(x))*(1-q(x)) = 1-p(x)-q(x)+p(x)*q(x).

Das hätte ich jetzt eingesetzt und dann davon das Minimum berechnet.


Ich probier mal, was da rauskommt...


*edit*
Schade, bei meinem Ansatz kommt die maximale Gesundbleib-Wahrscheinlichkeit für 0.4926 raus, aber das gibt's leider nicht in den Lösungen... dann hab ich wohl zu kompliziert gedacht...

 

[BuddyJesus]

@DaPhreak: Falls du den detaillierten Rechenweg noch hast, fänd ich es ziemlich dufte, wenn du ihn posten könntest. Würde mich mal interessieren

 

[DaPhreak]

Gerne.

Was ich maximieren will, hab ich ja schon gepostet: 1-p(x)-q(x)+p(x)*q(x).

Mit den gegebenen Zahlen ist:
p(x) = 1/5 e[sup]-x[/sup]
q(x) = 1/4 e[sup]x/3[/sup]
p(x)*q(x) = 1/20 e[sup]-2x/3[/sup]

Um das Maximum zu finden muss ich ableiten und null setzen, bekomme also

-p'(x)-q'(x)+[p(x)*q(x)]' = 0.

Die Ableitungen sind:

p'(x) = -1/5 e[sup]-x[/sup]
q'(x) = 1/12 e[sup]x/3[/sup]
[p(x)*q(x)]' = -1/30 e[sup]-2x/3[/sup]

Damit habe ich

1/5 e[sup]-x[/sup] - 1/12 e[sup]x/3[/sup] -1/30 e[sup]-2x/3[/sup] = 0.

Um das zu lösen substituiere ich z = e[sup]x/3[/sup]. Dann ist e[sup]-x[/sup]=z[sup]-3[/sup] und e[sup]-2x/3[/sup] = z[sup]-2[/sup].

Folglich:

1/5 z[sup]-3[/sup] - 1/12 z - 1/30 z[sup]-2[/sup] = 0.

Multipliziert mit 60 z[sup]3[/sup]:

12 - 5 z[sup]4[/sup] - 2 z = 0.

Ein Polynom vierten Grades ==> vier Nullstellen. Trotz der schönen Koeffizienten leider keine "schönen" Lösungen: Zwei davon sind komplex, eine ist negativ (was wegen z = e[sup]x/3[/sup] keine reelle Lösung in x hat). Damit kommt nur die vierte Lösung in Frage, die ist rund 1,1785.

Zurücksubstituiert:

x = 3*ln(z) = 0,4927.

 

[Hotwave]

Hier nochmal unser Rechenweg:

(1) p(x) = 0,2 * e^-x

(2) q(x) = 0,25 * e^x/3

p(x) + q(x)

f(x) = 0,2 * e^-x + 0,25 * e^x/3

Ableitung bilden:

f'(x) = -0,2 * e^-x + 1/3 * 0,25 * e^x/3

f'(x) = 0 setzen

0 = -0,2 * e^-x + 1/3 * 0,25 * e^x/3 | - 1/3 * 0,25 * e^x/3
-1/3 * 0,25 * e^x/3 = -0,2 * e^-x | * -3
0,25 * e^x/3 = 0,6 * e^-x | ln
ln(0,25) + x/3 = ln(0,6) - x | * 3
3 * ln(0,25) + x = 3 * ln(0,6) - 3x | -x
3 * ln(0,25) = 3 * ln(0,6) - 4x | - 3 * ln(0,6)
3 * ln(0,25) - 3 * ln(0,6) = -4x
-2,6264 ≈ -4x | :-4
x ≈ 0,6566

Ergebnis in ml ≈ 657

 

[DaPhreak]

Gibt es zu den Aufgaben eigentlich Musterlösungen wenn alles vorbei ist? Deine Lösung scheint ja richtig zu sein, aber ich verstehe noch nicht, wieso man die Wahrscheinlichkeiten einfach addieren kann.

Du hattest was von Risiken geschrieben, ja, klingt zwar nicht verkehrt, aber ist ein bisschen "hand-wavy". Es muss doch auch ein solideres mathematisches Argument dafür geben.


Ich habe Bauchschmerzen damit, Wahrscheinlichkeiten zu addieren, weil die Summe keine Wahrscheinlichkeit mehr ist. Beispiel: Wenn die Wahrscheinlichkeit Herz-Kreislauf-krank zu werden 0,8 = 80% ist und die Wahrschenlichkeit, 'nen Leberschaden zu bekommen 0,6 = 60% (könnte ja sein, dass solche Werte vorkommen), dann ist die Summe 1,4. Was ist das, eine Wahrscheinlichkeit von 140%?

Es mag zwar trotzdem sinnvoll sein, eben diese Summe zu minimieren, nur ich kann mir unter der Summe nichts vorstellen, ich weiß nicht was das ist.


Deshalb wäre ich sehr interessiert daran, dort mal die offizielle Auflösung zu lesen. Falls es sowas irgendwann mal gibt kannst sie ja hier im Thread posten.


*edit* Die allgemeine Lösung zu Deinem Ansatz ist übrigens



Die Werte eingesetzt kommt man dann auf 0,6566.

*edit2*: Ohne den Doppelbruch geschrieben sieht's dann so aus:

 

[Hotwave]

Ich weiß es nicht genau, aber da es ja gegensätzliche Risiken sind (1x zu viel trinken, 1x zu wenig) bleibt dann das Optimum über. Ist natürlich etwas schwammig, aber trotz intensivem Überlegen ist mir keine bessere eingefallen

In deinem Beispiel sind die Risiken unpassend gewählt, ein passendes Beispiel wäre:
Ich möchte schnell mit meinem Auto zur Arbeit kommen, bei steigender Geschwindigkeit erhöht sich aber das Unfallrisiko. Gesucht ist das Optimum aus Geschwindigkeit (und der daraus resultierenden Zeitersparnis beim Weg zur Arbeit) und Unfallrisiko.

 

[DaPhreak]

Ich weiß es nicht genau, aber da es ja gegensätzliche Risiken sind (1x zu viel trinken, 1x zu wenig) bleibt dann das Optimum über. Ist natürlich etwas schwammig, aber trotz intensivem Überlegen ist mir keine bessere eingefallen

Stimme ich Dir schon zu, dass das beides Risiken sind, aber warum ist das Gesamtrisiko die Summe? Das ist nicht immer so.

Beispiel: Es gibt drei Szenarien A, B, C.
Es gibt zwei Risiken R1 und R2, die sich in der Verschlechterung irgendeiner Quantität um irgendeinen Faktor ausdrücken. Beispiel R1 = 100 bedeutet es wird 100x schlimmer (z.B. das Risiko eines Unfalls verhundertfacht sich oder weniger dramatisch die Laufzeit eines Algorithmus verhundertfacht sich).

So, mal paar Zahlen:
R1 ist in Szenario A = 100, in Szenario B = 10 und in Szenario C = 1.
R2 ist in Szenario A = 1, in Szenario B = 3 und in Szenario C = 20.

Damit wird es insgesamt in Szenario A um den Faktor 100*1=100 schlimmer, in Szenario B um den Faktor 3*10=30 und in Szenario C um den Faktor 1*20=20. Das Minimum von 100,30,20 ist 20, also ist Szenario C das Optimum.


Da die Risiken hier im Beispiel Faktoren waren, mussten wir die Einzelrisiken multiplizieren. Hätten wir sie addiert, hätten wir bekommen 100+1 = 101, 10+3 = 13, 1+20 = 21. Da das Minimum von 101, 13, 21 die 13 ist, wäre B als minimales Risiko rausgekommen!


Das soll nur veranschaulichen, dass man aus Einzelrisiken zwar immer ein Gesamtrisiko bilden kann, welches es zu optimieren gilt, dieses Gesamtrisiko aber nicht unbedingt die Summe sein muss. Im Beispiel war es das Produkt, aber es könnten auch ganz andere Funktionen sein. Wie Du am Beispiel siehst, kann die Wahl der Gesamt-Risiko-Funktion die Lage des Optimums beeinflussen.



*edit* Zu Deinem Beispiel:

In deinem Beispiel sind die Risiken unpassend gewählt, ein passendes Beispiel wäre:
Ich möchte schnell mit meinem Auto zur Arbeit kommen, bei steigender Geschwindigkeit erhöht sich aber das Unfallrisiko. Gesucht ist das Optimum aus Geschwindigkeit (und der daraus resultierenden Zeitersparnis beim Weg zur Arbeit) und Unfallrisiko.

Das veranschaulicht, was ich sagen wollte. Denn dei Frage ist hier, wie wählst Du die zu optimierende Funktion in Abhängigkeit der Einflussfaktoren?

Zeitersparnis ist in Minuten, Unfallrisiko in Prozent. Kann man schlecht addieren. Du musst Dir eine Bewertungsfunktion ausdenken, die für dich persönlich bewertet, wieviel ist dir Zeitersparnis wert und wieviel Angst hast Du vor einem Unfallrisiko. Nur so kannst Du zu einer Gesamtfunktion kommen, die Du optimieren kannst.

Ich fahre normal und brauche 60 Minuten. Das Unfallrisiko ist 1:100000.
Ich spare 5 Minuten, dafür habe ich ein Unfallrisiko von 1:10000.
Ich spare 10 Minuten, dafür habe ich ein Unfallrisiko von 1:1000.
Ich spare 15 Minuten, dafür habe ich ein Unfallrisiko von 1:100.

Werte: [60,55,50,45] (Minuten) vs. [10[sup]-5[/sup],10[sup]-4[/sup],10[sup]-3[/sup],10[sup]-2[/sup]] (Wahrscheinlichkeit).

Und nun? Addieren klappt nicht.

 

[Hotwave]

Hab' nochmal ein Schaubild mit allen Funktionen erstellt, evtl. hilft es beim Verständnis:

 

[DaPhreak]

Auch von mir noch mal ein Schaubild



Rot: Leberschaden, Blau: Herzkreislauferkrankung.
Violett: Die Summe, wie von Dir vorgeschlagen und ja offenbar richtig
Schwarz: Die Wahrscheinlichkeit es Ereignisses Leberschaden oder Herzkreislauferkrankung.

Man sieht, dass sowohl violett als auch schwarz prinzipiell geeignet sind, um das Risiko abzuschätzen, allerdings das Minimum an verschiedenen Stellen liegt. Insofern ist das meiner Meinung nach eben nicht ganz eindeutig.