Dreiecksgeometrie

[Hotwave]

Ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen, bei der ich einer Freundin helfen wollte:

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 36 cm. Jeder Schenkel ist 4 cm länger als die Höhe zur Basis. Wie lang sind die Seiten des Dreieckes?

Wie kann ich die Aufgabe nun möglichst schlicht lösen? Die Einzig bekannte konkrete Zahl ist ja der Umfang, ein 90°-Winkel lässt sich durch Teilen des Dreiecks in der Mitte an h(c) herbeiführen. Dennoch ist mir erstmal kein schlichter Lösungsweg eingefallen.

 

[DaPhreak]

Naja ein Dreieck hat drei Seiten, sagen wir a, b, c. Dann ist der Umfang a+b+c = 36cm.

Hier ist das Dreieck aber gleichschenklig, also z.B. a=b. Damit haben wir 2*a+c = 36cm (1).

Außerdem ist gegeben, dass die Schenkel (a) 4 cm länger als die Höhe (h[sub]c[/sub]) zur Basis (c) sind, also a=h[sub]c[/sub]+4cm (2).

Die Höhe auf der Basis teilt die Basis in zwei gleiche Teile. Damit hat man ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h[sub]c[/sub], der halben Seite c und einem Schenkel. In dem Dreieck gilt der Pythagoras:
a[sup]2[/sup]=(c/2)[sup]2[/sup]+h[sub]c[/sub][sup]2[/sup].

Und nun bisschen ineinander einsetzen:
(2): h[sub]c[/sub] = a-4cm
a[sup]2[/sup]=(c/2)[sup]2[/sup]+(a-4cm)[sup]2[/sup].

(1): c = 36cm - 2*a
a[sup]2[/sup]=(18cm-a)[sup]2[/sup]+(a-4cm)[sup]2[/sup].


Das dürfte jetzt eine quadratische Gleichung in a ergeben... c bekommt man ja dann auch über c = 36cm - 2*a.

Keine Garantie ob jetzt die Gleichungen genau stimmen, aber so ungefähr sollte es gehen.


*edit* Zur Kontrolle:
a = 10cm, b = 10cm, c = 16cm
=> Umfang = 10cm+10cm+16cm = 36cm, passt.
=> Höhe = Wurzel(10[sup]2[/sup]-8[sup]2[/sup])cm = 6cm = 10cm-4cm, passt.

 

[Hotwave]

Vielen Dank für deine Hilfe