Bestimmtes Integral

[Berbatov]

Hi, ich bräuchte mal ein kleines Integral

Funktion:

Laut Buch ist das Integral

und da ich beim Wiederholen noch nicht beim Kapital Integrieren durch Substitution bin, muss das ganz einfach gehn, ich erkenns aber nicht...

Habe schon versucht den Bruch so umzuschreiben, dass es ein einfacher Term ohne eben jenen Bruch wird, aber irgendwie kommt da immer was anderes raus

 

[DaPhreak]

Allgemein gilt:
Wenn man x[sup]a[/sup] ableitet kommt da a*x[sup]a-1[/sup] raus.

Das kann man natürlich leicht umdrehen:

Wenn man x[sup]a-1[/sup] integriert, muss da 1/a*x[sup]a[/sup] rauskommen (es sei denn a ist gleich null, dann klappt das nicht wegen dem durch a teilen).

Oder anders geschrieben:

Wenn man x[sup]a[/sup] integriert muss da 1/(a+1)*x[sup]a+1[/sup] rauskommen.

Was Du gegeben hast ist eins durch 4 mal wurzel(x). Erinnert man sich, dass Wurzel(x) nichts anderes ist als x[sup]1/2[/sup] kann man die gegebene Funktion schreiben als:

1/4 * x[sup]-1/2[/sup].

Das -1/2 kommt weil die Wurzel ja unterm Bruchstrich stand und 1/(x[sup]n[/sup]) = x[sup]-n[/sup]. Jetzt das Integrationsgesetz angewendet für a = -1/2 (dann ist a+1 = 1/2).

Dann ist das Integral: 1/4 * 1/(1/2) * x[sup]1/2[/sup].

Die 1/4 bleibt also einfach davor stehen, für das x[sup]-1/2[/sup] wendest Du die Formel an. Jetzt nur noch 1/(1/2) = 2 mit der 1/4 kürzen und man hat:

1/2 * x[sup]1/2[/sup] = 1/2 * wurzel(x).


P.S.: Das ist natürlich nur eine Stammfunktion. Wenn Du die Menge aller Stammfunktionen angeben sollst die Integrationskonstante nicht vergessen (+C). Aber Du schriebst ja was von bestimmtem Integral, also ist das wohl sowieso nur ein Zwischenschritt.


*edit* Mal gesupt, thx an dubberle für den Tipp.