Mathe Analytische Berechnung von Dreiecksinnenwinkeln (überstumpfe Winkel)

[theHacker]

Hi.

Ich steh grad etwas auf dem Schlauch. Wie krieg ich den Innenwinkel in einem Dreieck raus, wenn der überstumpf is?

Als Formel verwend ich

cos(γ) = (a⃑ ∘ b⃑) / (║a⃑║⋅║b⃑║)
​

Da krieg ich freilich nur Ergebnisse zwischen 0° und 180°. Wie erkenne ich jetzt, dass es z.B. nicht 90°, sondern 270° sind?

 

[smailies]

In welcher Geometrie arbeitest du? In der ebenen Geometrie ist der Innenwinkel eines Dreiecks immer < 180° !?

 

[theHacker]

Ok, doof formuliert
Freilich, solang der Winkel innen is, isser <180°.

Mir gehts drum, diese beiden Fälle zu unterscheiden:
[url=https://www.myimg.de/?img=winke6dd71.png]
[/URL]

 

[smailies]

Also ich hoffe jetzt, nichts falsches zu sagen, aber rein rechnerisch bekommst du immer nur Werte unter 180° raus. Das andere ist dann eine Frage der geometrischen Überlegung und Umrechnung - aber das ist dir wohl klar.

 

[D_Blade]

Naja, einfach 360° minus den Innenwinkel?

Edit: war es nicht so, dass verschiedene Winkel die gleichen Sinus- oder Cosinuswerte haben?

 

[DaPhreak]

Dazu musst Du erstmal festlegen, was bei Deinen Vektoren a⃑ und b⃑ "innen" und "außen" ist. Ich könnte in dem zweiten von Dir gezeichneten Bild genauso den Innenwinkel einzeichnen, allein aus den Vektoren wird das noch nicht klar.

Du hast halt immer zwei Lösungen für den Winkel: \alpha und 360°-\alpha, da cos(\alpha) = cos(360°-\alpha) \forall \alpha.

Um zu entscheiden, welcher der beiden der "richtige" ist, brauchst Du noch eine Orientierungsinformation. Wie Du die genau bekommst kann ich nicht sagen, dazu müsstest Du genauer beschreiben was Du mit dem Winkel vor hast und wo die Vektoren her kommen.

 

[theHacker]

Um zu entscheiden, welcher der beiden der "richtige" ist, brauchst Du noch eine Orientierungsinformation.

Der Drehsinn von Winkeln ist eindeutig. Und GEONExT (wurde für die Bilder benutzt) rechnet auch den besagten Winkel richtig aus.

Wie Du die genau bekommst kann ich nicht sagen, dazu müsstest Du genauer beschreiben was Du mit dem Winkel vor hast und wo die Vektoren her kommen.

Gegeben: S1, S2, Z
Gesucht: ∡ZS2S1

Grade beim Schreiben hatte ich eine Idee. Die Fragestellung müsste äquivalent sein zu: In welcher Halbebene, aufgespannt durch die Gerade S1S2, befindet sich Z?

Das müsste man durch Einsetzen in die Geradengleichung rauskriegen

 

[DaPhreak]

Gegeben: S1, S2, Z
Gesucht: ∡ZS2S1

Ja, damit legst Du eine Richtung fest, das hast Du uns aber vorher nicht verraten.

Grade beim Schreiben hatte ich eine Idee. Die Fragestellung müsste äquivalent sein zu: In welcher Halbebene, aufgespannt durch die Gerade S1S2, befindet sich Z?

Richtig, oder aber wie liegt S2 bzgl. der Gerade durch S1 und Z, lässt sich ja beliebig permutieren.

So ein Halbebenentest ist glaub sogar ziemlich simpel. Mal überlegen:
Wenn der Richtungsvektor a=(a[sub]x[/sub],a[sub]y[/sub]) ist, lässt sich dazu ein Normalenvektor n über (a[sub]y[/sub],-a[sub]x[/sub]) konstruieren (oder der negative davon).
Nun musst Du nur Deinen Testpunkt nehmen, von einem beliebigen Punkt der Gerade abziehen und dann das Skalarprodukt mit n bilden.
Das Vorzeichen des Resultates sollte Dir die Halbebene verraten.

Ich hoffe das war kein Unsinn, war jetzt mehr so aus dem Gedächtnis aufgeschrieben. Vermutlich geht das auch noch einfacher.

 

[theHacker]

Ich hoffe das war kein Unsinn, war jetzt mehr so aus dem Gedächtnis aufgeschrieben. Vermutlich geht das auch noch einfacher.

So in etwa war auch mein Geistesblitz. Ich probier das später dann mal aus, obs auch wirklich funktioniert.

edit:
Jupp, hat funktioniert